haskell - Applicative 是 monad 就像 X 是 comonad

Question

我们可以为 X 解这个方程吗？

Applicative is to monad what X is to comonad

Answer 1

经过一番思考，我认为这实际上是一个落后的问题。有人可能会认为 ComonadApply 是Comonad什么Applicative是Monad ， 但事实并非如此。但要看到这一点，让我们使用 PureScript 的类型类层次结构:

class Functor f where
    fmap :: (a -> b) -> f a -> f b

class Functor f => Apply f where
    apply :: f (a -> b) -> f a -> f b -- (<*>)

class Apply f => Applicative f where
    pure :: a -> f a

class Applicative m => Monad m where
    bind :: m a -> (a -> m b) -> m b  -- (>>=)
 -- join :: m (m a) -> m a
 -- join = flip bind id

如您所见， ComonadApply只是 (Apply w, Comonad w) => w .但是， Applicative使用 pure 将值注入(inject)仿函数的能力是真正的区别。
Comonad 的定义因为分类对偶由 return 组成的双 extract和 bind的双 extend (或通过 duplicate 作为 join 的对偶的替代定义):

class Functor w => Comonad w where
    extract   :: w a -> a        
    extend    :: (w a -> b) -> w a -> w b
 -- extend f  = fmap f . duplicate k
 -- duplicate :: w a -> w (w a)
 -- duplicate = extend id

因此，如果我们查看 Applicative 中的步骤至 Monad , 之间的逻辑步骤将是具有 pure 的类型类的双重:

class Apply w => Extract w where
    extract :: w a -> a

class Extract w => Comonad w where
    extend :: (w a -> b) -> w a -> w b

请注意，我们不能定义 extract根据 extend或 duplicate ，我们也不能定义 pure/ return根据 bind或 join ，所以这似乎是“合乎逻辑”的步骤。 apply在这里几乎无关紧要；它可以定义为 Extract或 Monad ，只要他们的法律成立:

applyC f = fmap $ extract f   -- Comonad variant; needs only Extract actually (*)
applyM f = bind f . flip fmap -- Monad variant; we need join or bind

所以 Extract (获取值)是 Comonad什么 Applicative (获取值)是 Monad . Apply或多或少是一个快乐的小意外。 Hask 中是否存在具有 Extract 的类型会很有趣。 ，但不是 Comonad (或 Extend 但不是 Comonad ，见下文)，但我想这些是相当罕见的。

请注意 Extract尚不存在。但是 Applicative 也没有。在 2010 report .此外，任何同时是 Extract 实例的类型和 Applicative自动是 Monad和 Comonad , 因为你可以定义 bind和 extend根据 extract和 pure :

bindC :: Extract w => w a -> (a -> w b) -> w b
bindC k f = f $ extract k

extendM :: Applicative w => (w a -> b) -> w a -> w b
extendM f k = pure $ f k    

* 能够定义 apply根据 extract是 class Extend w => Comonad w 的标志可能更可行，但可以拆分 Monad进入 class (Applicative f, Bind f) => Monad f因此 Comonad进入 (Extend w, Extract w) => Comonad w ，所以它或多或少会 split 头发。