python - 使用泰勒级数逼近 cos

Question

我正在使用 Taylors series 来计算一个数字的 cos，对于小数字，该函数返回准确的结果，例如 cos(5) 给出 0.28366218546322663 。但是对于较大的数字，它会返回不准确的结果，例如 cos(1000) 给出 1.2194074101485173e+225

def factorial(n):
    c = n
    for i in range(n-1, 0, -1):
        c *= i
    return c

def cos(x, i=100):
    c = 2
    n = 0
    for i in range(i):
        if i % 2 == 0:
            n += ((x**c) / factorial(c))
        else:
            n -= ((x**c) / factorial(c))
        c += 2
    return 1 - n

我尝试使用 round(cos(1000), 8) 把它仍然返回一个用科学记数法写的数字 1.2194074101485173e+225 和 e+ 部分。 math.cos(1000) 给出 0.5623790762907029 ，我怎样才能四舍五入我的数字，使它们与 math.cos 方法相同？

Answer 1

麦克劳林级数使用欧拉的思想通过适当的多项式来近似函数的值。多项式显然与 cos(x) 之类的函数不同，因为它们都在某个时刻趋于无穷大，而 cos 则不然。一个 100 阶多项式最多可以在零的每一侧近似函数的 50 个周期。由于 50 * 2pi << 1000，您的多项式不能近似 cos(1000) 。
为了接近合理的解决方案，多项式的阶数必须至少为 x / pi 。您可以尝试计算 300+ 阶多项式，但由于浮点数的有限精度和阶乘的庞大性，您很可能会遇到一些主要的数值问题。
相反，使用 cos(x) 的周期性并将以下内容添加为函数的第一行:

x %= 2.0 * math.pi

您还需要限制多项式的阶，以避免因阶乘太大而无法放入浮点数的问题。此外，您可以并且应该通过增加先前的结果来计算阶乘，而不是在每次迭代时从头开始。下面是一个具体的例子:

import math

def cos(x, i=30):
    x %= 2 * math.pi
    c = 2
    n = 0
    f = 2
    for i in range(i):
        if i % 2 == 0:
            n += x**c / f
        else:
            n -= x**c / f
        c += 2
        f *= c * (c - 1)
    return 1 - n

>>> print(cos(5), math.cos(5))
0.28366218546322663 0.28366218546322625

>>> print(cos(1000), math.cos(1000))
0.5623790762906707 0.5623790762907029

>>> print(cos(1000, i=86))
...
OverflowError: int too large to convert to float

您可以通过注意到增量产品是 x**2 / (c * (c - 1)) 来进一步摆脱数字瓶颈。对于比直接阶乘支持的更大的 i，这将保持良好的界限:

import math

def cos(x, i=30):
    x %= 2 * math.pi
    n = 0
    dn = x**2 / 2
    for c in range(2, 2 * i + 2, 2):
        n += dn
        dn *= -x**2 / ((c + 1) * (c + 2))
    return 1 - n

>>> print(cos(5), math.cos(5))
0.28366218546322675 0.28366218546322625
>>> print(cos(1000), math.cos(1000))
0.5623790762906709 0.5623790762907029
>>> print(cos(1000, i=86), math.cos(1000))
0.5623790762906709 0.5623790762907029
>>> print(cos(1000, i=1000), math.cos(1000))
0.5623790762906709 0.5623790762907029

请注意，经过某个点后，无论您进行多少次循环，结果都不会改变。这是因为现在 dn 收敛到零，正如欧拉所希望的那样。
您可以使用此信息进一步改进您的循环。由于浮点数具有有限精度(尾数中的 53 位，具体而言)，您可以在 |dn / n| < 2**-53 时停止迭代:

import math

def cos(x, conv=2**-53):
    x %= 2 * math.pi
    c = 2
    n = 1.0
    dn = -x**2 / 2.0
    while abs(n / dn) > conv:
        n += dn
        c += 2
        dn *= -x**2 / (c * (c - 1))
    return n

>>> print(cos2(5), math.cos(5))
0.28366218546322675 0.28366218546322625
>>> print(cos(1000), math.cos(1000))
0.5623790762906709 0.5623790762907029
>>> print(cos(1000, 1e-6), math.cos(1000))
0.5623792855306163 0.5623790762907029
>>> print(cos2(1000, 1e-100), math.cos(1000))
0.5623790762906709 0.5623790762907029

参数 conv 不仅仅是 |dn/n| 的边界。由于以下术语切换符号，因此它也是结果整体精度的上限。