product - 坐姿产品和副产品

Question

在阅读Bartosz出色的Category theory for Programmers时，我陷入了第二个练习中，该练习处理的是球型产品。给定一个姿势，

    b   e
  ↗   ⤭   ↘
a → c   f → h
  ↘   ⤭   ↗
    d   g

如何从分类的意义上定义产品？什么是按两个对象的乘积分类的？那副产品呢？

Answer 1

首先让我们看一下产品的定义：


对象a和b的乘积是具有形态学c和p :: c -> a的对象q :: c -> b存在，因此对于任何其他对象c'（具有形态学p' :: c' -> a和q' :: c' -> b），存在态射m :: c' -> c，例如p' = p . m和q' = q . m。


请记住，位姿的态射基本上描述了“小于或等于”的关系。

现在，两个对象c和a之间的乘积b必须是小于或等于a和b的对象。例如，让您从图形中选择a作为e，选择b作为g：

    b   e -- this one is a
  ↗   ⤭   ↘
a → c   f → h
  ↘   ⤭   ↗
    d   g -- this one is b

琐碎地，想到的第一个始终小于或等于任何其他对象的对象是最小的对象，在这种情况下为 a。

现在 a是 e和 g乘积的有效候选者吗？让我们检查产品的定义：

从 a到 e是否有态射？是的，它存在并且可以写为 pₐ = ce . ac（读作：“首先是从a到c的箭头，然后是从c到e的箭头”）。

从 a到 g是否存在莫罗主义？是的，它也存在，可以写为 qₐ = cg . ac。

到目前为止，到目前为止，唯一的问题是，在没有其他对象存在的意义上，这是否是“最佳”候选者，这样我们就可以在 a和其他候选者之间构造一个独特的同构性？

查看该图，我们可以看到对象 c也满足必需的条件，即 p = ce和 q = cg。

剩下要做的就是根据上面的定义对这两个对象进行排名。我们看到从 a到 c存在态射。这意味着 c必须是最佳候选，因为我们现在可以定义 m = ac和 pₐ = p . m = ce . ac这样的词素 qₐ = q . m = cg . ac。

因此，摆放器中两个对象的乘积实际上是两个都小于两个对象的最大对象（也称为最大下限）。值得注意的是，这在总顺序上与功能 min(a, b)相对应，因为每个对象都必须与任何其他对象相关（Wolfram将此称为 trichotomy law）。



与产品定义类似，副产品对应于大于或等于 a和 b的最小对象。总的来说，这对应于两个对象的最大值。您可以自己解决这个问题。