r - 如何找到经验累积密度函数 (ECDF) 的分位数

Question

我正在使用 ecdf()从一些随机样本中计算经验累积密度函数 (ECDF) 的函数:

set.seed(0)
X = rnorm(100)
P = ecdf(X)

现在 P给出 ECDF，我们可以绘制它:

plot(P)
abline(h = 0.6, lty = 3)

我的问题是 : 我怎样才能找到样本值 x ，使得 P(x) = 0.6 ，即 ECDF 的 0.6 分位数，或 ECDF 与 h = 0.6 交点的 x 坐标?

Answer 1

下面，我不会使用ecdf() ，因为我们很容易获得经验累积密度函数(ECDF)。
首先，我们对样本进行排序 X按升序排列:

X <- sort(X)

这些样本中的 ECDF 采用函数值:

e_cdf <- 1:length(X) / length(X)

然后我们可以通过以下方式勾画 ECDF:

plot(X, e_cdf, type = "s")
abline(h = 0.6, lty = 3)

现在，我们正在寻找 X 的第一个值，使得 P(X) >= 0.6 .这只是:

X[which(e_cdf >= 0.6)[1]]
# [1] 0.2290196

由于我们的数据是从标准正态分布中采样的，因此理论分位数是

qnorm(0.6)
# [1] 0.2533471

所以我们的结果非常接近。

延期
自 CDF 的倒数是分位数函数 (例如， pnorm() 的倒数是 qnorm() )，可以猜测 ECDF 的倒数为样本分位数，即倒数 ecdf()是 quantile() .这不是真的!
ECDF 是一个阶梯/阶梯函数，它没有逆 .如果我们围绕 y = x 旋转 ECDF ，所得曲线不是数学函数。 所以样本分位数与ECDF无关 .
对于 n排序样本， 样本分位数函数实际上是一个线性插值函数的 (x, y) ， 和:

x 值是 seq(0, 1, length = n) ;

y 值被排序样本。

我们可以定义我们自己版本的样本分位数函数 经过:

my_quantile <- function(x, prob) {
  if (is.unsorted(x)) x <- sort(x)
  n <- length(x)
  approx(seq(0, 1, length = n), x, prob)$y
  }

我们来做个测试:

my_quantile(x, 0.6)
# [1] 0.2343171

quantile(x, prob = 0.6, names = FALSE)
# [1] 0.2343171

请注意，结果与我们从 X[which(e_cdf >= 0.6)[1]] 得到的不同.
正是因为这个原因，我拒绝使用 quantile()在我的回答中。