python - 为矩阵生成线性无关的列

Question

正如标题所暗示的，我想生成一个随机的 N x d 矩阵(N - 示例数，d - 特征数)，其中每列与其他列线性无关。如何使用 numpy 和 python 实现相同的功能？

Answer 1

如果您只是随机生成向量，则列向量不是线性无关的可能性非常小(假设 N >= d)。

让 A = [B | x] 其中 A 是 N x d 矩阵，B 是具有独立列向量的 N x (d-1) 矩阵，x 是具有 N 个元素的列向量。没有约束的所有 x 的集合是一个维度为 N 的子空间，而所有 x 的集合使得 x 与 B 中的所有列向量不是线性无关的将是一个维度为 d-1 的子空间(因为 B 中的每个列向量作为该集合的基向量)。

由于您正在处理有界离散数(可能是 double 数、浮点数或整数)，因此矩阵不是线性无关的概率不会完全为零。通常，每个元素可以采用的可能值越多，矩阵就越有可能具有独立的列向量。

因此，我建议您随机选择元素。您始终可以通过计算其列梯形形式来验证矩阵具有线性无关的列向量。你可以用 np.random.rand(N,d) 做到这一点。