modelica - 如何理解 Modelica 模型中的病态雅可比问题？

Question

我更改了模型中的参数，但有时会导致模拟因条件不良的雅可比行列式而停止，我不确定此错误意味着什么。
我的问题是:

有没有关于如何在 Modelica 模型中求解 DAE 方程的任何解释，以便我可以理解雅可比矩阵的使用？

我如何知道 Dymola 中哪个方程或参数会导致此问题？

Answer 1

Modelica 模型或多或少地映射到混合 ODE 系统(或索引为 1 的混合 DAE 系统)。为简单起见，假设它映射到显式连续时间 ODE 系统
xdot = f(x,p,t) , x(0) = x0
请注意，混合 ODE 系统由多个连续时间 ODE 系统组成。雅可比矩阵是 f w.r.t. 的偏导数。 x是
df/dx (p,x0,t)
该矩阵被常见的现代数值求解器用于自适应步长数值积分，即在每个时间步长选择一个新的步长。对于慢动态，选择大步长，反之亦然。在每个时间步，非线性方程组可能使用高斯-牛顿迭代方案求解，该方案需要雅可比矩阵的倒数(或它的近似值)。如果雅可比矩阵在特定时间步长为病态或半奇异值，则会导致数值不稳定，从而可能会阻碍数值解的评估。

我更喜欢的一个很好的文献是 Sundials 套件的文档/用户指南，例如CVODE guide的Ch2 .除了知名书籍之外，更高级的文献还包括与现代数值求解器(如日晷、DASSL 等)相关的期刊论文。

可能是的，例如通过计算雅可比的秩和核，并找出哪组方程导致雅可比是奇异的。