r - 坐标变换的缩放

Question

我在矩形空间中有一组点。缩放 x 坐标，使其以 0 为中心:

#original points
x <- scale(runif(10000, min= 0, max= 1000), scale=FALSE)
y <- runif(10000, min= 0, max= 750)

plot(x, y, pch='.')

我想将这些点缩放成抛物线，以便接近 y= 0 的点的 x 值比 y= 750 附近的 x 值更接近，基本上扭曲了图像:

#SC = scale
SC <- 0
x_scale = x * (y + SC)
y_scale = y * (y + SC)

plot(x_scale,y_scale, pch='.')

但是，有时我不想要完整的抛物线。我希望有一点缓冲:

SC <- 200 
x_scale_200 = x * (y + SC)
y_scale_200 = y * (y + SC)

plot(x_scale_200, y_scale_200, pch='.')

如 SC接近无穷大，绘制的空间接近原始矩形:

SC <- 10000
x_scale_10k = x * (y + SC)
y_scale_10k = y * (y + SC)

plot(x_scale_10k, y_scale_10k, pch='.')

我想创建一个变量 T , 缩放 SC从0到1。我基本上不知道翘曲程度如何变化为 SC变大。

在我看来，一个函数指定 T = 0将导致抛物线，其中 T = 1将导致一个矩形。我可以乘以 T乘以 10,000 并使用它(只是假设结果足够接近矩形)，但是 T = 0 之间的差异和 T = 0.1将远大于 T = 0.9 之间的差异和 T = 1.0 .我要 T线性缩放“翘曲”的程度。对(线性缩放)的数学关系有点迷茫 T翘曲可能是以及如何在此处编码。

我考虑在数学论坛上发布这个，但认为它仍然足够适合 stackoverflow。

Answer 1

虽然我最初从未解决过这个问题(事实证明我不需要)，但我只是碰巧(4 年后)解决了这个问题，答案对我来说似乎很明显。

一种解决方案是使用 logit 函数来转换输入(在这种情况下，需要使用 0.5 到 1 而不是 0 到 1，但这也可以缩放。因为 R 不喜欢 Inf(logit 的结果) (1))，必须从 1 中减去一个小值。然后将其缩放 1000(根据一些摆弄选择)以从抛物线缩放到矩形。

sc_fun <- function(x)
{
  if (x == 1)
  {
    x1 <- x - 0.0000000000001
  } else {
    x1 <- x
  }
  SC <- boot::logit(x1) * 1000

  return(SC)
}

SC <- sc_fun(0.5)

x_scale_fun = x * (y + SC)
y_scale_fun = y * (y + SC)
plot(x_scale_fun, y_scale_fun, pch='.')

SC <- sc_fun(1)

x_scale_fun = x * (y + SC)
y_scale_fun = y * (y + SC)
plot(x_scale_fun, y_scale_fun, pch='.')