r - 如何从一组N个对象中选择n个对象，从而最大化它们之间的成对距离之和

Question

您有一组N = 400个对象，每个对象在例如19维的空间中都有自己的坐标。

您计算（欧几里得）距离矩阵（所有成对距离）。

现在，您要选择n = 50个对象，以使所选对象之间的所有成对距离之和最大。

我设计了一种通过线性编程解决此问题的方法（下面的代码为一个较小的示例），但对我来说似乎效率不高，因为我使用的是N *（N-1）/ 2个二进制变量，对应于所有非冗余距离矩阵的元素，然后有很多约束来确保解向量的自洽。

我怀疑必须有一种更简单的方法，其中仅使用N个变量，但我无法立即想到一个。

This post简要提到了一些“ Bron-Kerbosch”算法，该算法显然解决了距离和部分。
但是在该示例中，距离的总和是一个特定的数字，因此我看不到直接适用于我的情况。

我简要介绍了二次编程，但我再也看不到与我的情况直接平行的情况，尽管理论上可以使用“ b％*％bT”矩阵（其中b是（列）二进制解矢量）乘以距离矩阵等；但我真的不熟悉这种技术。

任何人都可以建议（/指向其他文章进行解释）是否以及仅使用N个二进制变量通过线性编程可以解决这种问题？
或就如何更有效地解决问题提供其他建议？

谢谢！

PS：这是我上面提到的代码。

require(Matrix)

#distmat defined manually for this example as a sparseMatrix
distmat <- sparseMatrix(i=c(rep(1,4),rep(2,3),rep(3,2),rep(4,1)),j=c(2:5,3:5,4:5,5:5),x=c(0.3,0.2,0.9,0.5,0.1,0.8,0.75,0.6,0.6,0.15))

N = 5
n = 3

distmat_summary <- summary(distmat)
distmat_summary["ID"] <- 1:NROW(distmat_summary)
i.mat <- xtabs(~i+ID,distmat_summary,sparse=T)
j.mat <- xtabs(~j+ID,distmat_summary,sparse=T)
ij.mat <- rbind(i.mat,"5"=rep(0,10))+rbind("1"=rep(0,10),j.mat)
ij.mat.rowSums <- rowSums(ij.mat)
ij.diag.mat <- .sparseDiagonal(n=length(ij.mat.rowSums),-ij.mat.rowSums)
colnames(ij.diag.mat) <- dimnames(ij.mat)[[1]]
mat <- rbind(cbind(ij.mat,ij.diag.mat),cbind(ij.mat,ij.diag.mat),c(rep(0,NCOL(ij.mat)),rep(1,NROW(ij.mat)) ))

dir <- c(rep("<=",NROW(ij.mat)),rep(">=",NROW(ij.mat)),"==")
rhs <- c(rep(0,NROW(ij.mat)),1-unname(ij.mat.rowSums),n)

obj <- xtabs(x~ID,distmat_summary)
obj <- c(obj,setNames(rep(0, NROW(ij.mat)), dimnames(ij.mat)[[1]]))

if (length(find.package(package="Rsymphony",quiet=TRUE))==0) install.packages("Rsymphony")
require(Rsymphony)
LP.sol <- Rsymphony_solve_LP(obj,mat,dir,rhs,types="B",max=TRUE)
items.sol <- (names(obj)[(1+NCOL(ij.mat)):(NCOL(ij.mat)+NROW(ij.mat))])[as.logical(LP.sol$solution[(1+NCOL(ij.mat)):(NCOL(ij.mat)+NROW(ij.mat))])]
items.sol
ID.sol <- names(obj)[1:NCOL(ij.mat)][as.logical(LP.sol$solution[1:NCOL(ij.mat)])]
as.data.frame(distmat_summary[distmat_summary$ID %in% ID.sol,])

Answer 1

该问题称为p-色散和问题。可以使用N个二进制变量来表示，但可以使用二次项。据我所知，在线性程序中不可能仅用N个二进制变量来表述它。

This paper by Pisinger给出二次公式，并讨论边界和分支定界算法。

希望这可以帮助。