python - 使用 SymPy/Python 进行部分分数分解

Question

我如何找到常数 A,B,C,D,K,S 使得1/(x**6+1) = (A*x+B)/(x**2+1) + (C*x+D)/(x**2-sqrt(3)*x+1) + (K*x+S)/(x**2+sqrt(3)*x+1)对每一个实数 x 都为真。
我可能需要一些 sympy 代码，不确定。或者任何其他可以在这里提供帮助的 Python 库。
我手动尝试过，但一点也不简单:经过 1 小时的计算，我发现我可能犯了一些错误。
我在 SymPy 中尝试了部分分数分解，但并没有那么远。
我也尝试过 Wolfram Alpha，但它似乎也没有分解到那个细节级别。
WA attempt
请参阅下面 WA 给出的替代形式。
编辑
我完全手工进行了第二次尝试，得到了这些:A = 0B = 1/3C = -1/(2*sqrt(3))D = 1/3K = 1/(2*sqrt(3))S = 1/3我如何验证这些是否正确？
编辑 2
我的问题的要点是:如何使用一些不错的/可重用的 Python 代码来做到这一点？

Answer 1

您可以使用 apart 执行此操作同情但apart默认情况下将寻找有理因式分解，因此您必须告诉它在 Q(sqrt(3)) 中工作:

In [37]: apart(1/(x**6+1))                                                                                                                     
Out[37]: 
        2                     
       x  - 2           1     
- ─────────────── + ──────────
    ⎛ 4    2    ⎞     ⎛ 2    ⎞
  3⋅⎝x  - x  + 1⎠   3⋅⎝x  + 1⎠

In [36]: apart(1/(x**6+1), extension=sqrt(3))                                                                                                  
Out[36]: 
       √3⋅x - 2            √3⋅x + 2           1     
- ───────────────── + ───────────────── + ──────────
    ⎛ 2           ⎞     ⎛ 2           ⎞     ⎛ 2    ⎞
  6⋅⎝x  - √3⋅x + 1⎠   6⋅⎝x  + √3⋅x + 1⎠   3⋅⎝x  + 1⎠