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注意:这可能涉及大量的数论,但我在网上找到的公式只是一个近似值,所以我相信一个精确的解决方案需要计算机进行某种迭代计算。
我的目标是找到一种有效的算法(就时间复杂度而言)来解决大 n 值的以下问题:
设 R(a,b) 是欧几里德算法为找到非负整数 a 和 b 的 GCD 所采取的步数。即 R(a,b) = 1 + R(b,a%b),且 R(a,0) = 0。给定一个自然数 n,求所有 1 的 R(a,b) 之和<= a,b <= n。
例如,如果 n = 2,则解为 R(1,1) + R(1,2) + R(2,1) + R(2,2) = 1 + 2 + 1 + 1 = 5。
由于有 n^2 对对应于要加在一起的数字,无论 R 的效率如何,简单地为每一对计算 R(a,b) 不会比 O(n^2) 好。因此,要提高为了算法的效率,更快的方法必须以某种方式一次计算多个值的 R(a,b) 的总和。我怀疑有一些属性可能有用:
最佳答案
使用 Stern-Brocot,由于对称性,我们可以只查看以 1/3、2/3、3/2 或 3/1 为根的四个子树之一。时间复杂度仍然是 O(n^2) 但显然执行的计算更少。下面的版本使用以 2/3 为根的子树(或者至少这是我仔细考虑的那个:)。另请注意,我们只关心那里的分母,因为分子较低。另请注意,代码也依赖于规则 2 和 3。
C++ 代码(对于 n = 10,000,需要 about a tenth of a second):
#include <iostream>
using namespace std;
long g(int n, int l, int mid, int r, int fromL, int turns){
long right = 0;
long left = 0;
if (mid + r <= n)
right = g(n, mid, mid + r, r, 1, turns + (1^fromL));
if (mid + l <= n)
left = g(n, l, mid + l, mid, 0, turns + fromL);
// Multiples
int k = n / mid;
// This subtree is rooted at 2/3
return 4 * k * turns + left + right;
}
long f(int n) {
// 1/1, 2/2, 3/3 etc.
long total = n;
// 1/2, 2/4, 3/6 etc.
if (n > 1)
total += 3 * (n >> 1);
if (n > 2)
// Technically 3 turns for 2/3 but
// we can avoid a subtraction
// per call by starting with 2. (I
// guess that means it could be
// another subtree, but I haven't
// thought it through.)
total += g(n, 2, 3, 1, 1, 2);
return total;
}
int main() {
cout << f(10000);
return 0;
}
关于algorithm - 欧几里得算法对上限下的数对所采取的步数总和的快速算法,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/67340788/
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我使用此python客户端: https://github.com/ryananguiano/python-redis-timeseries 如何汇总所有匹配? ts = TimeSeries(cli
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所以,我需要聚合日期相同的行。 到目前为止,我的代码返回以下内容: date value source 0 2018-04-08 15:52:26.1
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我有两个表(输入和类别): CREATE TABLE categories ( iId INTEGER NOT NULL PRIMARY KEY AUTOINCREMENT, sNam
我是一名优秀的程序员,十分优秀!