optimization - Mathematica 求幂并查找指定系数

Question

我有以下代码，它完全按照我想要的方式执行，只是速度慢得离谱。我不会那么烦恼，除了当我“手动”处理代码时，即我将其分成几个部分并单独执行它们时，它几乎是瞬时的。

这是我的代码:

Coefficient[Product[Sum[x^(j*Prime[i]), {j, 0, Floor[q/Prime[i]]}], 
                        {i, 1, PrimePi[q]}], x, q]

为了清晰起见添加了图片:

我认为它正在尝试优化总和，但我不确定。有办法阻止吗？

此外，由于我所有的系数都是正数，并且我只想要第 x^q 个系数，有没有办法让 Mathematica 丢弃所有大于该系数的指数，而不与这些指数进行所有乘法？

Answer 1

我可能会误解您想要的内容，但是由于系数取决于 q，我假设您希望针对特定的 q 对其进行评估。由于我(像您一样)怀疑优化乘积和总和需要花费时间，因此我重写了它。你有类似的东西:

With[{q = 80}, Coefficient[\!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Product]\), \(i = 1\), \(PrimePi[q]\)]\((
\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(j = 0\), \(\[LeftFloor]
\*FractionBox[\(q\), \(Prime[i]\)]\[RightFloor]\)]
\*SuperscriptBox[\(x\), \(j*Prime[i]\)])\)\), x, q]] // Timing
(*
-> {8.36181, 10003}
*)

我用纯粹的结构操作重写为

With[{q = 80},
 Coefficient[Times @@ 
 Table[Plus @@ Table[x^(j*Prime[i]), {j, 0, Floor[q/Prime[i]]}],
        {i, 1, PrimePi[q]}], x, q]] // Timing
(*
-> {8.36357, 10003}
*)

(这只是构建一个术语列表，然后将它们相乘，因此不执行符号分析)。

建立多项式是瞬时的，但它有几千个项，所以可能发生的情况是 Coefficient 花费大量时间来确保它具有正确的系数。实际上，您可以通过展开多项式来解决这个问题。因此:

 With[{q = 80}, Coefficient[Expand[\!\(
 \*UnderoverscriptBox[\(\[Product]\), \(i = 1\), \(PrimePi[q]\)]\((
 \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(j = 0\), \(\[LeftFloor]
 \*FractionBox[\(q\), \(Prime[i]\)]\[RightFloor]\)]
 \*SuperscriptBox[\(x\), \(j*Prime[i]\)])\)\)], x, q]] // Timing
 (*
 -> {0.240862, 10003}
 *)

它也适用于我的方法。

总而言之，只需将 Expand 粘贴在表达式前面和获取系数之前即可。