optimization - 为什么这段代码没有针对所有三点进行优化？

Question

背景

我正在尝试将分布拟合到 95% CI 和众数。我用的cost function对0求解三个函数:P(X=2.5 | mu, sigma)=0.025, P(X=7.5|mu, sigma)=0.975, log-N(mu, sigma)的模) = 3.3。注意:对数正态分布的模式是 = $e^{\mu-\sigma^2)}$:

方法

首先我写了一个代价函数，prior

prior <- function(parms) {
  a <- abs(plnorm(2.5, parms[1], parms[2]) - 0.025)
  b <- abs(plnorm(7.5, parms[1], parms[2]) - 0.975)
  mode <- exp(parms[1] - parms[2]^2)
  c <- abs(mode-3.3)
  return(a + b + c)
}

然后我寻找最小化代价函数的参数

v = nlm(prior,c(log(3.3),0.14))

很明显，函数对于 LCL 模式而非 UCL 模式最大化。

abs(plnorm(7.5, parms[1], parms[2]) - 0.975)
> [1] 0.02499989

这是在所需的 95%CI 处用虚线绘制的图:

x <- seq(0,10,0.1)
plot(x,dlnorm(x, v$estimate[1],v$estimate[2]),type='l')
abline(v=c(2.5,7.5), lty=2) #95%CI

问题

优化两点紧密，所有错误都在第三点。但是，我希望它能均匀地拟合这些点。

如何让函数对a、b 和c 项赋予相同的权重？看起来该函数仅适用于 a 和 c。

注意:这个问题基于 [cross validated][1] 上的一个问题，除了这个版本专门关于 R 的 nlm() 优化算法的功能，而 CV 问题是关于寻找更合适的分布。

Answer 1

您的优化“不起作用”的原因是三个参数 a、b 和 c 的比例不正确匹配。 a 和 b 测量概率的差异，并且始终可以通过选择一个非常小的标准差值(parms[ 2])，从那时起 plnorm(2.5, parms[1], parms[2]) 将为 0(与 7.5 相同)。对于 c，相同数量的错误 (0.025) 将不会引起注意 - 这是缩放不匹配。

您可以重写您的优化函数，以便通过将分位数与 2.5 和 7.5 进行比较，在所有三个标准的 x 尺度上测量误差:

prior2 <- function(parms) { 
  a <- abs(qlnorm(0.025, parms[1], parms[2]) - 2.5) 
  b <- abs(qlnorm(0.975, parms[1], parms[2]) - 7.5) 
  mode <- exp(parms[1] - parms[2]^2) 
  c <- abs(mode-3.3) 
  return(a + b + c) 
} 

这与 Ramnath 的建议类似，只是不是在对数尺度上。这种方法在左尾上效果不佳，因为分布向右倾斜:较低 2.5% 位置的微小变化会导致百分位数在 2.5 处发生较大变化，而在 7.5 处情况并非如此。 Ramnath 关于在对数尺度上工作的建议解决了这个问题，因为对数正态分布在对数尺度上是对称的。

另一种提高拟合度的方法是更改​​优化标准。现在你正在最小化平均绝对误差。这意味着只要其他两个误差项真的很小，一个大的误差就可以了。您可以通过最小化均方误差 (a^2+b^2_c^2) 来对较大的错误施加更大的惩罚。从我的角度来看，这个最新版本(在对数尺度上)产生了最好看的估计。

prior3 <- function(parms) { 
  a <- abs(parms[1] - 1.96*parms[2] - log(2.5))
  b <- abs(parms[1] + 1.96*parms[2] - log(7.5)) 
  c <- abs(parms[1] - parms[2]^2 - log(3.3)) 
  return(a^2 + b^2 + c^2) 
}