c# - 计算三角形 3D 网格的质心

Question

我正在尝试计算 3D 三角形网格的质心。
编辑:事实证明我不是，我试图计算重心，这是不一样的
我的代码由点点滴滴组成，主要是:

This nice paper by Cha Zhang and Tsuhan Chen

SO : How to calculate the volume of a 3D mesh object the surface of which is made up triangles

SO : How to compute the centroid of a mesh with triangular faces?

我将我的结果与 Rhino 提供的结果进行了比较。我计算质心和体积:

引用 NURBS 体积与 Rhino 7

使用 Rhino 7 的 27k 三角形网格

使用 Rhino 7 的简化 1k 三角形网格

与我的代码相同的 1k 三角形网格。

如您所见，计算体积效果很好，但不适用于质心，我似乎不知道为什么。我需要误差小于 0.01。我检查了好几次，但肯定有一些明显的东西。
我不太擅长数值不稳定:

我应该以毫米而不是米为单位工作吗？

我应该像galinette在第二个引用文献中所建议的那样，用另一个点而不是原点来计算四面体有符号体积吗？我试过了，并没有太大改善。

我的代码
在计算任何东西之前，我检查我的网格是否正确(未提供代码):

封闭的网格，没有裸露的边缘或任何孔洞；

所有三角形的顶点都是一致的，即三角形正确地朝向网格的外部。

using HelixToolkit.Wpf;
using System.Collections.Generic;
using System.Windows.Media.Media3D;

internal static class CentroidHelper
{
    public static Point3D Centroid(this List<MeshGeometry3D> meshes, out double volume)
    {
        Vector3D centroid = new Vector3D();
        volume = 0;

        foreach (var mesh in meshes)
        {
            var c = mesh.Centroid(out double v);
            volume += v;
            centroid += v *c ;
        }

        return (centroid / volume).ToPoint3D();
    }

    public static Vector3D Centroid(this MeshGeometry3D mesh, out double volume)
    {
        Vector3D centroid = new Vector3D();
        double totalArea = 0;
        volume = 0;

        for (int i = 0; i < mesh.TriangleIndices.Count; i += 3)
        {
            var a = mesh.Positions[mesh.TriangleIndices[i + 0]].ToVector3D();
            var b = mesh.Positions[mesh.TriangleIndices[i + 1]].ToVector3D();
            var c = mesh.Positions[mesh.TriangleIndices[i + 2]].ToVector3D();
            var triangleArea = AreaOfTriangle(a, b, c);
            totalArea += triangleArea;
            centroid += triangleArea * (a + b + c) / 3;
                
            volume += SignedVolumeOfTetrahedron(a, b, c);
        }
        return centroid / totalArea;
    }

    private static double SignedVolumeOfTetrahedron(Vector3D a, Vector3D b, Vector3D c)
    {
        return Vector3D.DotProduct(a, Vector3D.CrossProduct(b, c)) / 6.0d;
    }

    private static double AreaOfTriangle(Vector3D a, Vector3D b, Vector3D c)
    {
        return 0.5d * Vector3D.CrossProduct(b - a, c - a).Length;
    }
}    

Answer 1

原来是commonly accepted answer在堆栈溢出和整个互联网都是错误的:
几何质心并不总是与质心重合，尽管它非常接近 .
仅适用于某些卷，如 n-dimensional simplexes和 platonic solids .
我通过计算船舶平衡时的船体位置，将我的结果与 Rhino 的结果和现实进行了比较。
想了很多，现在看来还是很明显的，但是非常欢迎大家来检查和批评我的方法。
方法
我使用了Zhang & Chen's paper中描述的方法的原理，质心。
四面体的质心确实与其质心重合(即其顶点的等重心)。
由四面体的有符号体积加权的质心的重心是网格的质心。

代码

internal static class CentroidHelper
{
    public static Point3D Centroid(this List<MeshGeometry3D> meshes, out double volume)
    {
        Vector3D centroid = new Vector3D();
        volume = 0;

        foreach (var mesh in meshes)
        {
            var c = mesh.Centroid(out double v);
            volume += v;
            centroid += v * c;
        }
        return (centroid / volume).ToPoint3D();
    }

    public static Vector3D Centroid(this MeshGeometry3D mesh, out double volume)
    {
        Vector3D centroid = new Vector3D();
        volume = 0;

        for (int i = 0; i < mesh.TriangleIndices.Count; i += 3)
        {
            var a = mesh.Positions[mesh.TriangleIndices[i + 0]].ToVector3D();
            var b = mesh.Positions[mesh.TriangleIndices[i + 1]].ToVector3D();
            var c = mesh.Positions[mesh.TriangleIndices[i + 2]].ToVector3D();
            var tetrahedronVolume = SignedVolumeOfTetrahedron(a, b, c);
            centroid += tetrahedronVolume * (a + b + c) / 4.0d;
            volume += tetrahedronVolume;
        }
        return centroid / volume;
    }

    private static double SignedVolumeOfTetrahedron(Vector3D a, Vector3D b, Vector3D c)
    {
        return Vector3D.DotProduct(a, Vector3D.CrossProduct(b, c)) / 6.0d;
    }
}