julia - 在某点绘制与函数相切的线

Question

这是一段代码，它在一个范围内以及单个输入上绘制一个函数:

a = 1.0
f(x::Float64) = -x^2 - a
scatter(f, -3:.1:3)
scatter!([a], [f(a)])

我想绘制与该点相切的线，如下所示:

是否有这样做的模式或简单工具？

Answer 1

这取决于您所说的“模式或简单工具”的含义 - 最简单的方法是手动导出导数，然后将其绘制为函数:

hand_gradient(x) = -2x

然后将 plot!(hand_gradient, 0:0.01:3) 添加到您的绘图中。
当然，对于更复杂的函数或者当你想要绘制大量梯度时，这可能会有点乏味，所以另一种方法是利用 Julia 出色的自动微分功能。比较所有不同的选项有点超出这个答案的范围，但如果你有兴趣，请查看 https://juliadiff.org/。在这里，我将使用广泛使用的 Zygote 库:

julia> using Plots, Zygote

julia> a = 1.0;

julia> f(x) = -x^2 - a;

[注意我已经稍微修改了您的 f 定义以符合您发布的图，这是一条倒抛物线]
请注意，这里我没有将输入参数 x 的类型限制为 f - 这对于自动区分工作至关重要，因为它是通过您的函数运行不同的数字类型( Dual)来实现的。一般来说，以这种方式限制参数类型在 Julia 中是一种反模式——它无助于提高性能，但会使您的代码与生态系统的其他部分的互操作性降低，如果您尝试通过 f(x::Float64) 自动区分，您可以在此处看到。
现在让我们使用 Zygote 为我们提供渐变:

julia> f'
#43 (generic function with 1 method)

如您所见，运行 f' 现在返回一个匿名函数 - 这是 f 的派生函数，您可以通过在特定点评估它来验证:

julia> f'(2)
-4.0

现在我们需要做的就是利用它来构造一个函数，该函数本身返回一个跟踪渐变线的函数:

julia> gradient_line(f, x₀) = (x -> f(x₀) + f'(x₀)*(x-x₀))
gradient_line (generic function with 1 method)

这个函数接受一个函数 f 和一个我们想要获取切线的点 x₀，然后返回一个匿名函数，该函数返回每个 x 值处的切线值。使用它:

julia> default(markerstrokecolor = "white", linewidth = 2);

julia> scatter(f, -3:0.1:3, label = "f(x) = -x² - 1", xlabel = "x", ylabel = "f(x)");

julia> scatter!([1], [f(1)], label = "", markersize = 10);

julia> plot!(gradient_line(f, 1), 0:0.1:3, label = "f'(1)", color = 2);

julia> scatter!([-2], [f(-2)], label = "", markersize = 10, color = 3);

julia> plot!(gradient_line(f, -2), -3:0.1:0, label = "f'(-2)", color = 3)