math - 在 n 维环面的表面上生成随机点

Question

我想生成位于 n 维环面表面上的随机点。我找到了如何在 3-dimensional torus 的表面上生成点的公式:

x = (c + a * cos(v)) * cos(u)
y = (c + a * cos(v)) * sin(u)
z = a * sin(v)

u, v ∈ [0, 2 * pi); c, a > 0。

我现在的问题是:如何将此公式扩展到 n 维。对此事的任何帮助将不胜感激。

Answer 1

我想你可以递归地做到这一点。从向量空间的完整正交基开始，并让当前位置作为原点。在每一步，选择前两个坐标向量跨越的平面中的一个点，即 w1 = cos(t)*v1 + sin(t)*v2。移动其他基向量，即 w2 = v3, w3 = v4, ...。还从您当前的位置向 w1 方向迈出一步，预先选择半径 r1。当您只剩下一个基向量时，当前点是最外层递归调用的 n 维环面上的一个点。

请注意，虽然上述方法可用于随机选择点，但不会统一选择它们。这可能是一个更难的问题，你绝对应该在 Math SE 上询问数学问题。或者也许在 Cross Validated (Statistics SE)在您担心实现之前获得正确的数学。