haskell - 单子(monad)只是内仿函数类别中的一个幺半群，有什么问题？

Question

下面是谁先说的？

A monad is just a monoid in the category of endofunctors, what's the problem?

在不太重要的一点上，这是真的吗？如果是这样，您能否给出解释(希望没有太多 Haskell 经验的人可以理解)？

Answer 1

那个特别的措辞是詹姆斯·艾里(James Iry)的，来自他非常有趣的 Brief, Incomplete and Mostly Wrong History of Programming Languages ，其中他虚构地将其归因于菲利普·瓦德勒。
原始引述来自 Saunders Mac Lane 的工作数学家类别，类别理论的基础文本之一。 Here it is in context ，这可能是准确了解其含义的最佳场所。
但是，我会打一针。原句是这样的:

All told, a monad in X is just a monoid in the category of endofunctors of X, with product × replaced by composition of endofunctors and unit set by the identity endofunctor.

X 这里是一个类别。 Endofunctor 是从一个类别到其自身的仿函数(就函数式程序员而言，这通常是所有 Functor s，因为他们主要处理一个类别；类型的类别 - 但我离题了)。但是您可以想象另一个类别，即“X 上的内仿函数”类别。这是一个范畴，其中对象是内仿函数，态射是自然变换。
在这些内仿函数中，其中一些可能是单子(monad)。哪些是单子(monad)？正是那些在特定意义上是幺半群的。与其详细说明从 monad 到 monoid 的确切映射(因为 Mac Lane 做得比我希望的要好得多)，我只是将它们各自的定义并排放置并让您比较:
一个幺半群是...

一套，小号

一个操作， • : S × S → S

S的一个元素， e : 1 → S

...满足这些法律:

(a • b) • c = a • (b • c)，对于 S 中的所有 a、b 和 c

e • a = a • e = a，对于 S 中的所有 a

一个单子(monad)是...

一个内仿函数， T : X → X (在 Haskell 中，类型构造函数 * -> * 带有 Functor 实例)

自然的转变， μ : T × T → T ，其中 × 表示仿函数组合(μ 在 Haskell 中称为 join )

自然的转变， η : I → T ，其中 I 是 X 上的恒等函数(η 在 Haskell 中称为 return )

...满足这些法律:

μ ∘ Tμ = μ ∘ μT

μ ∘ Tη = μ ∘ ηT = 1(恒等式自然变换)

稍稍眯起眼睛，您可能会看到这两个定义都是相同 abstract concept 的实例。 .