haskell - 从 Reader Bool 到 Maybe 的自然转换

Question

我正在阅读 Bartosz 的精彩博客，接着挑战问题 3，我有点难过:

https://bartoszmilewski.com/2015/04/07/natural-transformations/

Q3:定义Reader Bool的一些自然变换至Maybe
我将 Reader 仿函数定义为:

newtype Reader e a = Reader (e->a)

runReader :: Reader e a -> e -> a
runReader (Reader f) env = f env

instance Functor (Reader e) where
    fmap f (Reader g) = Reader (\x -> f (g x))

我想找到一个自然的转变

n :: Reader Bool a -> Maybe a

我的直觉是，如果 Reader的环境是 True , 我可以有 Just a , 如果 False ，则自然改造项目为 Nothing .但这感觉有点单调，或者像 Maybe嵌套在 Reader 中，如 Reader Bool (Maybe Int) ，所以我不确定。

我无法想象如何做到这一点。我最好的是:

n :: Reader Bool a -> Maybe a
n (Reader f) = Just (f True)

但这不能考虑环境，也不返回 Nothing .

我想 build 一个通勤的结构，在 fmap 中 build 一个广场和自然变换。

例如:

                          nat
Reader Bool Int +---------------------------> Maybe Int
     +                                            +
     |                                            |
     |                                            |
     |                                            |
     |    fmap show                               |  fmap show
     |                                            |
     |                                            |
     |                                            |
     |                                            |
     v                  nat                       v
Reader Bool String  +--------------------------> Maybe String                         

你能帮我填补空白吗？

Answer 1

正如我在评论中已经说过的，您希望 n 使用环境，但是，由于您只有 Reader，因此没有环境，您必须自己提供。

显然，这实际上是三种不同的自然转换 Reader Bool a -> Maybe a :

n (Reader f) = Just (f True)

n (Reader f) = Just (f False)

n (Reader f) = Nothing

让我们证明没有更多。在范畴论术语中，仿函数 Reader Bool a只是 Hom(Bool,_) .现在， Yoneda lemma告诉我们

Nat(Hom(X,_), F) = F(X)

也就是说，来自仿函数的自然变换 Hom(X,_)到仿函数 F与集合中的元素一一对应 F(X) .

在我们的例子中， X = Bool和 F = Maybe ，所以我们得到

Nat(Hom(Bool,_),Maybe) = Maybe Bool

Maybe Bool正好包含三个元素: Just True , Just False和 Nothing ，这对应于答案开头的实现。