math - 为什么 Functor 类没有返回函数？

Question

从分类的角度来看，仿函数是一对两个映射(一个在对象之间，另一个在类别箭头之间)，遵循一些公理。

我假设，每个 Functor 实例都类似于数学定义，即可以映射对象和函数，但 Haskell 的 Functor类只有函数fmap映射功能。

为什么这样？

更新 换句话说:

每个 Monad 类型 M有一个功能return :: a -> M a .

和 Functor 类型 F没有功能return :: a -> F a , 但仅限 F x构造函数。

Answer 1

首先，有两个层次:类型和值。由于 Hask 的对象是类型，您只能使用类型构造函数来映射它们，类型构造函数具有 * -> *种类:

α -> F α (对于 Functor F )，

β -> M β (对于 Monad M)。

然后对于仿函数，您需要一个关于态射的映射(即函数，它们是值):它只是 fmap :: (α -> β) -> (F α -> F β) .

到目前为止，我想，我并没有说什么新东西。但重要的是 return :: α -> M α的 Monad不是 α 类型的映射器到 M α如您所想。关于单子(monad)的数学定义， return对应于自然变换 来自 Id M 的仿函数仿函数。只是这个 Id仿函数是一种隐含的。 monad 的标准定义还需要另一个自然变换 M ◦ M -> M .所以把它翻译成 Haskell 就像

class Functor m => Monad m where
    return :: Id α -> m α
    join :: m (m α) -> m α

(附带说明:这两个自然变换实际上是单位和乘法，这使得 monad 成为内仿函数类别中的幺半群)

实际定义不同，但等效。见 Haskell/wiki在那。

如果您采用从标准绑定(bind) >>= :: m α -> (α -> m β) -> m β 派生的类组合运算符:

(>=>) :: Monad m => (α -> m β) -> (β -> m γ) -> (α -> m γ)
f >=> g = \a => f a >>= g

你可以看到，这一切实际上都是关于 Kleisli category .另见 article on nLab关于计算机科学中的单子(monad)。