scala - 高阶ScalaCheck

Question

考虑以下类别定义：

trait Category[~>[_, _]] {
  def id[A]: A ~> A
  def compose[A, B, C](f: A ~> B)(g: B ~> C): A ~> C
}

这是一元函数的实例：

object Category {
  implicit def fCat = new Category[Function1] {
    def id[A] = identity
    def compose[A, B, C](f: A => B)(g: B => C) = g.compose(f)
  }
}

现在，类别受某些法律约束。相关组成（ .）和标识（ id）：

forall f: categoryArrow -> id . f == f . id == f

我想用ScalaCheck进行测试。让我们尝试使用整数函数：

"Categories" should {
  import Category._

  val intG  = { (_ : Int) - 5 }

  "left identity" ! check {
    forAll { (a: Int) => fCat.compose(fCat.id[Int])(intG)(a) == intG(a) }      
  }

  "right identity" ! check {
    forAll { (a: Int) => fCat.compose(intG)(fCat.id)(a) == intG(a) }      
  }
}

但是这些是通过（i）特定类型（ Int）和（ii）特定函数（ intG）量化的。所以这是我的问题：在概括上述测试方面我能走多远？或者换句话说，是否有可能创建任意 A => B函数的生成器，并将其提供给ScalaCheck？

Answer 1

我不完全了解希尔伯特的epsilon，我会采用更基本的方法，并使用ScalaCheck的Arbitrary和Gen选择要使用的函数。

首先，为要生成的函数定义一个基类。通常，可能会生成结果不确定的函数（例如被零除），因此我们将PartialFunction用作基类。

trait Fn[A, B] extends PartialFunction[A, B] {
  def isDefinedAt(a: A) = true
}

现在，您可以提供一些实现。覆盖 toString，因此ScalaCheck的错误消息可理解。

object Identity extends Fn[Int, Int] {
  def apply(a: Int) = a
  override def toString = "a"
}
object Square extends Fn[Int, Int] {
  def apply(a: Int) = a * a
  override def toString = "a * a"
}
// etc.

我选择使用案例类从二进制函数生成一元函数，并将其他参数传递给构造函数。这不是唯一的方法，但我发现它是最简单的方法。

case class Summation(b: Int) extends Fn[Int, Int] {
  def apply(a: Int) = a + b
  override def toString = "a + %d".format(b)
}
case class Quotient(b: Int) extends Fn[Int, Int] {
  def apply(a: Int) = a / b
  override def isDefinedAt(a: Int) = b != 0
  override def toString = "a / %d".format(b)
}
// etc.

现在，您需要创建 Fn[Int, Int]的生成器，并将其定义为隐式 Arbitrary[Fn[Int, Int]]。您可以一直添加生成器，直到脸色发青（多项式，由简单的函数组成复杂的函数等）。

val funcs = for {
  b <- arbitrary[Int]
  factory <- Gen.oneOf[Int => Fn[Int, Int]](
    Summation(_), Difference(_), Product(_), Sum(_), Quotient(_),
    InvDifference(_), InvQuotient(_), (_: Int) => Square, (_: Int) => Identity)
} yield factory(b)

implicit def arbFunc: Arbitrary[Fn[Int, Int]] = Arbitrary(funcs)

现在，您可以定义属性。使用 intG.isDefinedAt(a)避免产生不确定的结果。

property("left identity simple funcs") = forAll { (a: Int, intG: Fn[Int, Int]) =>
  intG.isDefinedAt(a) ==> (fCat.compose(fCat.id[Int])(intG)(a) == intG(a))
}

property("right identity simple funcs") =  forAll { (a: Int, intG: Fn[Int, Int]) =>
  intG.isDefinedAt(a) ==> (fCat.compose(intG)(fCat.id)(a) == intG(a))
}

尽管我所展示的内容仅泛化了所测试的功能，但希望这能使您对如何使用高级类型系统技巧来泛化类型有所了解。