haskell - 用join而不是bind表示的Monad法则？

Question

monad 法则传统上用 >>= 来描述。和 pure :

pure a >>= k = k a
m >>= pure = m
m >>= (\x -> k x >>= h) = (m >>= k) >>= h

然而，monad 也可以用 join 来定义。而不是 >>= .我想根据 join 提出一个单子(monad)定律的表述。 .

使用 x >>= f = join (fmap f x) ，很容易重写现有的monad法则来消除 >>= .在应用定律的帮助下稍微简化了结果，前两个定律表达得非常愉快:

join . pure = id
join . fmap pure = id

这些定律的直觉也很容易，因为很明显，使用 pure 引入了一个额外的“层”。与 join 结合使用时应该是空操作.然而，第三定律并不是那么好。它最终看起来像这样:

  join (fmap (\x -> join (fmap h (k x))) m)
= join (fmap h (join (fmap k m)))

这不会令人愉快地减少使用应用定律，而且如果不盯着它看一会儿就很难理解。它当然没有同样简单的直觉。

是否存在根据 join 的单子(monad)定律的等效替代表述？这更容易理解？或者，有什么办法可以简化上述规律，或者更容易理解？带有 >>= 的版本已经不如 Kleisli 组合表达的好，但是带有 join 的版本几乎不可读。

Answer 1

直接从 Wikipedia 窃取:

(自然变换 η: 1 -> T 是 pure ；自然变换 µ: T^2 -> T 是 join )

µ . Tµ = µ . µT

在 haskell :

join . fmap join = join . join

英文:如果你从三层monad开始为 mmma :: Monad m => m (m (m a)) ，不管是先压内层后外层，还是先压外层后内层。这与您列为第三个(关联性)的定律相同。

µ . Tη = µ . ηT = 1

在 haskell :
join . fmap pure = join . pure = id
英文:如果你从一层monad开始为 ma :: Monad m => m a ，不管是在里面新建一个图层然后展平，还是在外面新建一个图层然后展平，都和什么都不做一样。这条定律是你前两条的结合。

另外， join作为一个自然的转变意味着
join . fmap (fmap f) = fmap f . join
因为参数化。