math - 如何找到两个坐标系之间的旋转矩阵？

Question

有两个坐标系。我们知道原点的 3D 坐标和第二个坐标系相对于第一个坐标系的轴的 3D 矢量。那么我们如何找到将第一个坐标系转换为第二个坐标系的旋转矩阵呢？

Answer 1

所描述的问题可以如下解决。让

M = m_11 m_12 m_13
    m_21 m_22 m_23
    m_31 m_32 m_33

表示所需的旋转矩阵。我们需要

 1 0 0 * M + t = x_x x_y x_z
 0 1 0           y_x y_y y_z
 0 0 1           z_x z_y z_y

哪里 t表示翻译；我们看到这个矩阵等式可以通过从左边乘以单位矩阵来解决，单位矩阵是它的逆矩阵；因此我们得到以下等式。

 M + t = x_x x_y x_z
         y_x y_y y_z
         z_x z_y z_y

这可以通过减去 t 重新排列从两边得到想要的矩阵 M如下。

 M = x_x x_y x_z - t = x_x-t_x x_y-t_y x_z-t_z 
     y_x y_y y_z       y_x-t_x y_y-t_y y_z-t_z
     z_x z_y z_y       z_x-t_x z_y-t_y z_z-t_z

请注意，这相对容易，因为初始矩阵由标准基的基本向量组成。一般来说，它更难，涉及 basis transformation ，基本上可以通过 Gaussian elimination来完成，但在数值上可能很困难。