math - 将球体映射到立方体

Question

这里描述了一种将立方体映射到球体的特殊方法:
http://mathproofs.blogspot.com/2005/07/mapping-cube-to-sphere.html

这不是您基本的“标准化点，您就完成了”的方法，而是提供了更均匀间隔的映射。

我试图对从球体坐标到立方体坐标的映射进行逆运算，但一直无法得出工作方程。这是一个相当复杂的方程组，有很多平方根。

有没有数学天才想尝试一下？

这是 C++ 代码中的方程:

sx = x * sqrtf(1.0f - y * y * 0.5f - z * z * 0.5f + y * y * z * z / 3.0f);

sy = y * sqrtf(1.0f - z * z * 0.5f - x * x * 0.5f + z * z * x * x / 3.0f);

sz = z * sqrtf(1.0f - x * x * 0.5f - y * y * 0.5f + x * x * y * y / 3.0f);

sx,sy,sz 是球体坐标，x,y,z 是立方体坐标。

Answer 1

我想为此归功于 gmatt，因为他做了很多工作。我们的答案的唯一区别是 x 的方程。

要进行从球体到立方体的逆映射，首先要确定球体点投影到的立方体面。这一步很简单 - 只需找到具有最大长度的球体向量的分量，如下所示:

// map the given unit sphere position to a unit cube position
void cubizePoint(Vector3& position) {
    double x,y,z;
    x = position.x;
    y = position.y;
    z = position.z;

    double fx, fy, fz;
    fx = fabsf(x);
    fy = fabsf(y);
    fz = fabsf(z);

    if (fy >= fx && fy >= fz) {
        if (y > 0) {
            // top face
            position.y = 1.0;
        }
        else {
            // bottom face
            position.y = -1.0;
        }
    }
    else if (fx >= fy && fx >= fz) {
        if (x > 0) {
            // right face
            position.x = 1.0;
        }
        else {
            // left face
            position.x = -1.0;
        }
    }
    else {
        if (z > 0) {
            // front face
            position.z = 1.0;
        }
        else {
            // back face
            position.z = -1.0;
        }
    }
}

对于每个面 - 取表示为 s 和 t 的剩余立方体向量分量，并使用这些方程求解它们，这些方程基于表示为 a 和 b 的剩余球体向量分量:

s = sqrt(-sqrt((2 a^2-2 b^2-3)^2-24 a^2)+2 a^2-2 b^2+3)/sqrt(2)
t = sqrt(-sqrt((2 a^2-2 b^2-3)^2-24 a^2)-2 a^2+2 b^2+3)/sqrt(2)

您应该看到两个方程中都使用了内部平方根，因此该部分只执行一次。

这是最终函数，其中包含方程并检查 0.0 和 -0.0 以及正确设置立方体组件符号的代码 - 它应该等于球体组件的符号。

void cubizePoint2(Vector3& position)
{
    double x,y,z;
    x = position.x;
    y = position.y;
    z = position.z;

    double fx, fy, fz;
    fx = fabsf(x);
    fy = fabsf(y);
    fz = fabsf(z);

    const double inverseSqrt2 = 0.70710676908493042;

    if (fy >= fx && fy >= fz) {
        double a2 = x * x * 2.0;
        double b2 = z * z * 2.0;
        double inner = -a2 + b2 -3;
        double innersqrt = -sqrtf((inner * inner) - 12.0 * a2);

        if(x == 0.0 || x == -0.0) { 
            position.x = 0.0; 
        }
        else {
            position.x = sqrtf(innersqrt + a2 - b2 + 3.0) * inverseSqrt2;
        }

        if(z == 0.0 || z == -0.0) {
            position.z = 0.0;
        }
        else {
            position.z = sqrtf(innersqrt - a2 + b2 + 3.0) * inverseSqrt2;
        }

        if(position.x > 1.0) position.x = 1.0;
        if(position.z > 1.0) position.z = 1.0;

        if(x < 0) position.x = -position.x;
        if(z < 0) position.z = -position.z;

        if (y > 0) {
            // top face
            position.y = 1.0;
        }
        else {
            // bottom face
            position.y = -1.0;
        }
    }
    else if (fx >= fy && fx >= fz) {
        double a2 = y * y * 2.0;
        double b2 = z * z * 2.0;
        double inner = -a2 + b2 -3;
        double innersqrt = -sqrtf((inner * inner) - 12.0 * a2);

        if(y == 0.0 || y == -0.0) { 
            position.y = 0.0; 
        }
        else {
            position.y = sqrtf(innersqrt + a2 - b2 + 3.0) * inverseSqrt2;
        }

        if(z == 0.0 || z == -0.0) {
            position.z = 0.0;
        }
        else {
            position.z = sqrtf(innersqrt - a2 + b2 + 3.0) * inverseSqrt2;
        }

        if(position.y > 1.0) position.y = 1.0;
        if(position.z > 1.0) position.z = 1.0;

        if(y < 0) position.y = -position.y;
        if(z < 0) position.z = -position.z;

        if (x > 0) {
            // right face
            position.x = 1.0;
        }
        else {
            // left face
            position.x = -1.0;
        }
    }
    else {
        double a2 = x * x * 2.0;
        double b2 = y * y * 2.0;
        double inner = -a2 + b2 -3;
        double innersqrt = -sqrtf((inner * inner) - 12.0 * a2);

        if(x == 0.0 || x == -0.0) { 
            position.x = 0.0; 
        }
        else {
            position.x = sqrtf(innersqrt + a2 - b2 + 3.0) * inverseSqrt2;
        }

        if(y == 0.0 || y == -0.0) {
            position.y = 0.0;
        }
        else {
            position.y = sqrtf(innersqrt - a2 + b2 + 3.0) * inverseSqrt2;
        }

        if(position.x > 1.0) position.x = 1.0;
        if(position.y > 1.0) position.y = 1.0;

        if(x < 0) position.x = -position.x;
        if(y < 0) position.y = -position.y;

        if (z > 0) {
            // front face
            position.z = 1.0;
        }
        else {
            // back face
            position.z = -1.0;
        }
    }

所以，这个解决方案并不像立方体到球体映射那么漂亮，但它完成了工作!

感谢任何提高上述代码效率或阅读能力的建议!

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我应该提到我已经对此进行了测试，到目前为止，在我的测试中，代码看起来是正确的，结果至少精确到小数点后第 7 位。那是从我使用 float 时开始的，现在使用 double 可能更准确。

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这是 Daniel 优化的 glsl 片段着色器版本，以表明它不必是这么大的可怕功能。 Daniel 使用它来过滤立方体贴图上的采样!好点子!

const float isqrt2 = 0.70710676908493042;

vec3 cubify(const in vec3 s)
{
float xx2 = s.x * s.x * 2.0;
float yy2 = s.y * s.y * 2.0;

vec2 v = vec2(xx2 – yy2, yy2 – xx2);

float ii = v.y – 3.0;
ii *= ii;

float isqrt = -sqrt(ii – 12.0 * xx2) + 3.0;

v = sqrt(v + isqrt);
v *= isqrt2;

return sign(s) * vec3(v, 1.0);
}

vec3 sphere2cube(const in vec3 sphere)
{
vec3 f = abs(sphere);

bool a = f.y >= f.x && f.y >= f.z;
bool b = f.x >= f.z;

return a ? cubify(sphere.xzy).xzy : b ? cubify(sphere.yzx).zxy : cubify(sphere);
}