math - 从给定点垂直于线段

Question

我想计算与给定点垂直的给定线上的一个点。

我有一条线段 AB，线段外有一个点 C。我想计算 AB 上的点 D，使得 CD 垂直于 AB。



我必须找到D点。

它与 this 非常相似，但我也想考虑 Z 坐标，因为它在 3D 空间中没有正确显示。

Answer 1

证明:
D点在垂直于AB的一条CD线上，当然D属于AB。
写出两个向量CD.AB = 0的点积，将D属于AB的事实表示为D=A+t(B-A)。

我们最终得到 3 个等式:

 Dx=Ax+t(Bx-Ax)
 Dy=Ay+t(By-Ay)
(Dx-Cx)(Bx-Ax)+(Dy-Cy)(By-Ay)=0

在第三个方程中代入前两个方程给出:

(Ax+t(Bx-Ax)-Cx)(Bx-Ax)+(Ay+t(By-Ay)-Cy)(By-Ay)=0

分布求解 t 给出:

(Ax-Cx)(Bx-Ax)+t(Bx-Ax)(Bx-Ax)+(Ay-Cy)(By-Ay)+t(By-Ay)(By-Ay)=0

这使:

t= -[(Ax-Cx)(Bx-Ax)+(Ay-Cy)(By-Ay)]/[(Bx-Ax)^2+(By-Ay)^2]

摆脱负面迹象:

t=[(Cx-Ax)(Bx-Ax)+(Cy-Ay)(By-Ay)]/[(Bx-Ax)^2+(By-Ay)^2]

一旦你有了 t，你就可以从前两个方程中找出 D 的坐标。

 Dx=Ax+t(Bx-Ax)
 Dy=Ay+t(By-Ay)