haskell - 范畴论 POV 中的 Applicative Functor 定义是什么？

Question

我能够通过以下方式将 Functor 的定义从范畴论映射到 Haskell 的定义:因为 Hask 的对象是类型，仿函数 F

映射每种类型 a的 Hask到新类型F a粗略地说，在它前面加上“F”。

映射每个态射 a -> b的 Hask到新态射 F a -> F b使用 fmap :: (a -> b) -> (f a -> f b) .

到目前为止，一切都很好。现在我到 Applicative ，并且在教科书中找不到任何提及这种概念的内容。通过查看它添加到 Functor 的内容, ap :: f (a -> b) -> f a -> f b ，我试图提出我自己的定义。

首先，我注意到自从 (->)也是一个类型，态射为 Hask也是它的对象。鉴于此，我提出应用仿函数是一种仿函数，它也可以将源类别的“箭头”对象映射到目标类别的态射。

这是正确的直觉吗？你能提供一个更正式、更严格的定义吗？

Answer 1

理解应用仿函数的关键是弄清楚它们保留了什么样的结构。

正则仿函数保留了基本的分类结构:它们映射类别之间的对象和态射，并且它们保留了类别的法则(关联性和同一性)。

但是一个类别可能有更多的结构。例如，它可能允许定义类似于态射但采用多个参数的映射。这种映射是通过柯里化(Currying)定义的:例如，两个参数的函数被定义为一个参数返回另一个函数的函数。如果您可以定义一个表示函数类型的对象，这是可能的。通常，这个对象被称为指数对象(在 Haskell 中，它只是类型 b->c )。然后我们可以有从一个对象到指数的态射，并将其称为双参数态射。

Haskell 中应用仿函数的传统定义是基于多个参数的映射函数的思想。但是有一个等价的定义可以将多参数函数沿不同的边界分割。您可以将这样的函数视为产品(Haskell 中的一对)到另一种类型(此处为 c)的映射。

a -> (b -> c)  ~  (a, b) -> c

这使我们可以将应用仿函数视为保留产品的仿函数。但产品只是所谓的单曲面结构的一个例子。

一般来说，幺半群类别是配备张量积和单位对象的类别。例如，在 Haskell 中，这可能是笛卡尔积(一对)和单位类型 () .但是请注意，单曲面定律(结合律和单位定律)仅在同构之前有效。例如:

(a, ())  ~  a

然后可以将应用仿函数定义为保留单曲面结构的仿函数。特别是，它应该保护单位和产品。我们是否在应用仿函数之前或之后进行“乘法”并不重要。结果应该是同构的。

然而，我们并不真正需要一个成熟的幺半群仿函数。我们所需要的只是两个态射(与同构相反)——一个用于乘法，一个用于单位。这种半保留幺半体结构的仿函数称为松散幺半体仿函数。因此，替代定义:

class Functor f => Monoidal f where
  unit :: f ()
  (**) :: f a -> f b -> f (a, b)

很容易证明 Monoidal相当于 Applicative .例如，我们可以得到 pure来自 unit反之亦然:

pure x = fmap (const x) unit
unit = pure ()

应用定律简单地遵循幺半群定律(结合律和单位定律)。

在范畴论中，幺半体结构的保持与张量强度有关，所以应用仿函数也称为强松弛幺半体仿函数。然而，在 哈斯克 ，每个仿函数都具有关于乘积的规范强度，因此该属性不会在定义中添加任何内容。

现在，如果您熟悉将 monad 定义为内仿函数类别中的幺半群，您可能有兴趣知道应用程序同样是内仿函数类别中的幺半群，其中张量积是 Day 卷积。但这更难解释。