haskell - Biapplicative 和 Bimonad？

Question

Haskell 的 Data.Bifunctor基本上是:

class Bifunctor f where
  bimap :: (a -> c) -> (b -> d) -> f a b -> f c d 

我可以找到 Biapply也是。我的问题是，为什么没有完整的双层次结构(层次结构？)，例如:

class Bifunctor f => Biapplicative f where
  bipure :: a -> b -> f a b
  biap :: f (a -> b) (c -> d) -> f a c -> f b d 

class Biapplicative m => Bimonad m where
  bibind :: m a b -> (a -> b -> m c d) -> m c d

  bireturn :: a -> b -> m a b
  bireturn = bipure

bilift :: Biapplicative f => (a -> b) -> (c -> d) -> f a c -> f b d
bilift f g = biap $ bipure f g 

bilift2 :: Biapplicative f => (a -> b -> c) -> (x -> y -> z) -> f a x -> f b y -> f c z
bilift2 f g = biap . biap (bipure f g)

Pair 是其中的一个实例:

instance Bifunctor (,) where
  bimap f g (x,y) = (f x, g y)

instance Biapplicative (,) where
  bipure x y = (x,y)
  biap (f,g) (x,y) = (f x, g y)

instance Bimonad (,) where
  bibind (x,y) f = f x y

和类型如...

data Maybe2 a b = Fst a | Snd b | None
--or 
data Or a b = Both a b | This a | That b | Nope

...国际海事组织也会有实例。

没有足够的匹配类型？还是我的代码存在严重缺陷？

Answer 1

范畴论中的单子(monad)是一个内仿函数，即域和余域是同一类别的仿函数。但是一个Bifunctor是产品类别 Hask x Hask 中的仿函数至Hask .但是我们可以尝试找出 Hask x Hask 中的 monad 是什么。类别看起来像。这是一个对象是类型对的类别，即 (a, b) , 和箭头是函数对，即来自 (a, b) 的箭头至(c, d)有类型 (a -> c, b -> d) .此类别中的内仿函数将类型对映射到类型对，即 (a, b)至(l a b, r a b) ，以及成对的箭头到成对的箭头，即

(a -> c, b -> d) -> (l a b -> l c d, r a b -> r c d)

如果将此映射函数拆分为 2，您将在 Hask x Hask 中看到一个 endofunctor与两个 Bifunctor 相同年代， l和 r .

现在是单子(monad): return和 join是箭头，所以在这种情况下，两者都是 2 个函数。 return是来自 (a, b) 的箭头至 (l a b, r a b) , 和 join是来自 (l (l a b) (r a b), r (l a b) (r a b)) 的箭头至 (l a b, r a b) .这是它的样子:

class (Bifunctor l, Bifunctor r) => Bimonad l r where
  bireturn :: (a -> l a b, b -> r a b)
  bijoin :: (l (l a b) (r a b) -> l a b, r (l a b) (r a b) -> r a b)

或分离出来:

class (Bifunctor l, Bifunctor r) => Bimonad l r where
  bireturnl :: a -> l a b
  bireturnr :: b -> r a b
  bijoinl :: l (l a b) (r a b) -> l a b
  bijoinr :: r (l a b) (r a b) -> r a b

类似于 m >>= f = join (fmap f m)我们可以定义:

  bibindl :: l a b -> (a -> l c d) -> (b -> r c d) -> l c d
  bibindl lab l r = bijoinl (bimap l r lab)
  bibindr :: r a b -> (a -> l c d) -> (b -> r c d) -> r c d
  bibindr rab l r = bijoinr (bimap l r rab)

相对单子(monad)

最近， relative monads已经开发了。相对单子(monad)不需要是内仿函数!如果我们将论文翻译成 Bifunctor在 Haskell 中，你得到:

class RelativeBimonad j m where
  bireturn :: j a b -> m a b
  bibind :: m a b -> (j a b -> m c d) -> m c d

它定义了一个相对于双仿函数的单子(monad) j .如果您选择 j成为 (,)你得到你的定义。

定律与单子(monad)定律相同:

bireturn jab `bibind` k = k jab
m `bibind` bireturn = m
m `bibind` (\jab -> k jab `bibind` h) = (m `bibind` k) `bibind` h

第一定律阻止 Maybe2不是一个实例，因为 bibind必须能够从 bireturn 的结果中提取两个值.