haskell - liftM 可以与 liftA 不同吗？

Question

根据the Typeclassopedia (以及其他来源)，Applicative逻辑上属于 Monad和 Pointed (因此 Functor )在类型类层次结构中，所以如果 Haskell 前奏是今天写的，我们理想情况下会有这样的东西:

class Functor f where
    fmap :: (a -> b) -> f a -> f b

class Functor f => Pointed f where
    pure :: a -> f a

class Pointed f => Applicative f where
    (<*>) :: f (a -> b) -> f a -> f b

class Applicative m => Monad m where
    -- either the traditional bind operation
    (>>=) :: (m a) -> (a -> m b) -> m b
    -- or the join operation, which together with fmap is enough
    join :: m (m a) -> m a
    -- or both with mutual default definitions
    f >>= x = join ((fmap f) x)
    join x = x >>= id
    -- with return replaced by the inherited pure
    -- ignoring fail for the purposes of discussion

(这些默认定义是我从 explanation at Wikipedia 重新键入的，错误是我自己的，但如果有错误，至少原则上是可能的。)

由于当前定义了库，因此我们有:

liftA :: (Applicative f) => (a -> b) -> f a -> f b
liftM ::       (Monad m) => (a -> b) -> m a -> m b

和:

(<*>) :: (Applicative f) => f (a -> b) -> f a -> f b
ap    ::       (Monad m) => m (a -> b) -> m a -> m b

请注意每对中这些类型之间的相似性。

我的问题是:是 liftM (不同于 liftA )和 ap (与 <*> 不同)，仅仅是 Monad 的历史现实的结果。不是用 Pointed 设计的和 Applicative心里？或者它们是否以某种其他行为方式(可能对于某些合法的 Monad 定义)不同于仅需要 Applicative 的版本？语境？

如果它们是不同的，您能否提供一组简单的定义(遵守 Monad、 Applicative、 Pointed 和 Functor 在 Typeclassopedia 和其他地方描述但未由类型系统强制执行的定义所要求的法律) liftA和 liftM表现不同？

或者，如果它们不是不同的，您能否使用与前提相同的定律证明它们的等价性？

Answer 1

liftA , liftM , fmap , 和 .应该都是相同的函数，如果它们满足仿函数定律，它们必须是:

fmap id = id

然而，这并没有被 Haskell 检查。

现在申请。 ap 是可能的和 <*>对于某些仿函数来说是不同的，仅仅因为可能有多个实现满足类型和定律。例如，List 有多个可能的 Applicative实例。您可以如下声明一个应用程序:

instance Applicative [] where
  (f:fs) <*> (x:xs) = f x : fs <*> xs
  _      <*> _      = []
  pure              = repeat

ap函数仍将定义为 liftM2 id ，即 Applicative每个 Monad 免费提供的实例.但是这里有一个类型构造函数的示例，它具有多个 Applicative例如，两者都满足法律。但是如果你的 monad 和你的 applicative functors 不同意，那么为它们设置不同的类型被认为是一种很好的形式。例如， Applicative上面的实例不同意 [] 的 monad ，所以你真的应该说 newtype ZipList a = ZipList [a]然后为 ZipList 创建新实例而不是 [] .