boost - 使用 boost 几何从点到线的垂直地理距离

Question

我想获得从点(t)到线段(p, q)的垂直距离。垂线不得与线[p, q]相交。在这种情况下，我想假设地延长线 (p, q) 然后绘制垂直线以获得距离。 p、q、t 都是 GPS 坐标。我正在使用 boost 几何。

typedef boost::geometry::model::point<
    double, 2, boost::geometry::cs::spherical_equatorial<boost::geometry::degree>
> geo_point;
typedef boost::geometry::model::segment<geo_point> geo_segment;

geo_point p(88.41253929999999, 22.560206299999997);
geo_point q(88.36928063300775, 22.620867969497795);
geo_point t(88.29580956367181, 22.71558662052875);

我已在 map 上绘制了这三个位置

我测量了两个距离qt以及从t到pq的距离

double dist_qt = boost::geometry::distance(q, t);
std::cout << dist_qt*earth_radius << std::endl;

geo_segment line(p, q);
double perp_dist = boost::geometry::distance(t, line);
std::cout << perp_dist*earth_radius << std::endl;

这两个距离相同。这意味着它不计算垂直距离。相反，它计算的是边界内从点到线的最短距离。

如何计算垂直距离，使其无论边界如何都一定是垂直的？

cpp.sh 中的工作示例

Answer 1

这个答案可以进行所有计算，没有 boost 。

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考虑一个半径为 R = 1 的球体。

A、B 点位于 great circle 上。这个大圈gcAB还穿过球体的中心点O(大圆需要)。点A、B、O定义一个平面PL1 .

点P也位于一个大圆内。

从P到大圆的最小距离(沿着大圆弧测量，而不是沿着3D直线测量)gcAB是弧PC的长度。
大圆平面PL2 gcPC垂直于平面 PL1。

我们想要点C，它位于OC线中，该线是上述两个平面的交点。

。
平面 PL1 由其垂直向量 pp1 定义。该向量是通过向量 OA 的叉积获得的和OB .

因为平面PL2垂直于平面PL1，所以它必须包含向量pp1 。所以垂直向量pp2到平面 PL2 可以通过 OP 的叉积获得和pp1 .

向量ppi在线OC两个平面的交集通过 pp1 的叉积获得和pp2 .

如果我们标准化向量ppi并将其分量乘以半径 R地球的坐标，我们得到点C的坐标。
叉积不可交换。这意味着如果我们交换点 A、B，我们会得到球体中相反的点 C'。我们可以测试距离PC和PC'并得到他们的最小值。

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计算大圆距离 Wikipedia link对于两点A、B，它依赖于角度a字里行间OA和OB 。
为了在所有角度上获得最佳精度，我们使用 a = atan2(y, x)其中，使用半径 1，y= sin(a)和x= cos(a) 。 sin(a)和cos(a)可以分别通过叉积(OA，OB)和点积(OA，OB)来计算。

将所有内容放在一起，我们得到了以下 C++ 代码:

#include <iostream>
#include <cmath>

const double degToRad = std::acos(-1) / 180;

struct vec3
{
    double x, y, z;
    vec3(double xd, double yd, double zd) : x(xd), y(yd), z(zd) {}
    double length()
    {
        return std::sqrt(x*x + y*y + z*z);
    }
    void normalize()
    {
        double len = length();
        x = x / len;
        y = y / len;
        z = z / len;
    } 
};

vec3 cross(const vec3& v1, const vec3& v2)
{
    return vec3( v1.y * v2.z - v2.y * v1.z,
                 v1.z * v2.x - v2.z * v1.x,
                 v1.x * v2.y - v2.x * v1.y );
}

double dot(const vec3& v1, const vec3& v2)
{
    return v1.x * v2.x + v1.y * v2.y + v1.z * v2.z;
}

double GCDistance(const vec3& v1, const vec3& v2, double R)
{
    //normalize, so we can pass any vectors
    vec3 v1n = v1;
    v1n.normalize();
    vec3 v2n = v2;
    v2n.normalize();
    vec3 tmp = cross(v1n, v2n);
    //minimum distance may be in one direction or the other
    double d1 = std::abs(R * std::atan2(tmp.length() , dot(v1n, v2n)));
    double d2 = std::abs(R * std::atan2(tmp.length() , -dot(v1n, v2n)));

    return std::min(std::abs(d1), std::abs(d2));
}                  

int main()
{
    //Points A, B, and P
    double lon1 = 88.41253929999999  * degToRad;
    double lat1 = 22.560206299999997 * degToRad;
    double lon2 = 88.36928063300775  * degToRad;
    double lat2 = 22.620867969497795 * degToRad;
    double lon3 = 88.29580956367181  * degToRad;
    double lat3 = 22.71558662052875  * degToRad;

    //Let's work with a sphere of R = 1
    vec3 OA(std::cos(lat1) * std::cos(lon1), std::cos(lat1) * std::sin(lon1), std::sin(lat1));
    vec3 OB(std::cos(lat2) * std::cos(lon2), std::cos(lat2) * std::sin(lon2), std::sin(lat2));
    vec3 OP(std::cos(lat3) * std::cos(lon3), std::cos(lat3) * std::sin(lon3), std::sin(lat3));
    //plane OAB, defined by its perpendicular vector pp1
    vec3 pp1 = cross(OA, OB);
    //plane OPC
    vec3 pp2 = cross(pp1, OP);
    //planes intersection, defined by a line whose vector is ppi
    vec3 ppi = cross(pp1, pp2);
    ppi.normalize(); //unitary vector

    //Radious or Earth
    double R = 6371000; //mean value. For more precision, data from a reference ellipsoid is required

    std::cout << "Distance AP = " << GCDistance(OA, OP, R) << std::endl;
    std::cout << "Distance BP = " << GCDistance(OB, OP, R) << std::endl;
    std::cout << "Perpendicular distance (on arc) = " << GCDistance(OP, ppi, R) << std::endl;
}

给出距离对于给定的三个点，AP = 21024.4 BP = 12952.1 且 PC= 499.493。

运行代码here