math - 按位运算符(移位除外)在 base-10 中有任何数学意义吗？

Question

根据 wiki shifts 可用于计算 2 的幂:

A left arithmetic shift by n is equivalent to multiplying by 2^n (provided the value does not overflow), while a right arithmetic shift by n of a two's complement value is equivalent to dividing by 2^n and rounding toward negative infinity.

我一直想知道是否有任何其他按位运算符( ~ 、 | 、 & 、 ^ )在应用于 base-10 时有任何数学意义吗？我理解它们是如何工作的，但是这些操作的结果可以用来计算十进制世界中有用的东西吗？

Answer 1

“是的，base-10 就是我的意思”

在那种情况下，是的，它们可以通过多种方式扩展到 base-10，尽管它们几乎没有二进制那么有用。

一种想法是 & , |等与对单个二进制数字进行算术 mod-2 相同。如 a和 b是单个二进制数字，那么

a & b = a * b (mod 2)
a ^ b = a + b (mod 2)
~a = 1-a (mod 2)
| b = ~(~a & ~b) = 1 - (1-a)*(1-b) (mod 2)

base-10 中的等价物将是(再次注意这些是按数字应用的，而不是整数)

a & b = a * b (mod 10)
a ^ b = a + b (mod 10)
~a = 9-a (mod 10)
| b = ~(~a & ~b) = 9 - (9-a)*(9-b) (mod 10)

前三个在设计使用 BCD 的电路时很有用。 ( ~a 是 9's complement )，例如非图形计算器，尽管我们只使用 *和 +而不是 &和 ^写方程的时候。第一个显然也用于 some old ciphers .