scala - 到底什么是幺半群同态？

Question

我从 Monoid Morphisms, Products, and Coproducts 读到了幺半群同态并且无法100%理解。

作者说(强调原创):

The length function maps from String to Int while preserving the monoid structure. Such a function, that maps from one monoid to another in such a preserving way, is called a monoid homomorphism. In general, for monoids M and N, a homomorphism f: M => N, and all values x:M, y:M, the following equations hold:

f(x |+| y) == (f(x) |+| f(y))

f(mzero[M]) == mzero[N]

他的意思是这样吗，因为数据类型 String 和 Int 是幺半群，并且函数 length 映射 String => Int 保留幺半群结构(Int 是一个幺半群)，这就是所谓的幺半群同态，对吗？

Answer 1

Does he mean, the datatype String and Int are monoid.

不，都没有String也不Int是幺半群。幺半群是一个三元组(S, ⊕, e)，其中⊕是二元运算符⊕:S×S → S，这样对于所有元素 a, b, c∈S 则有 (a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c)，且 e∈S 是“单位元”使得a⊕e=e⊕a=a。 String和Int是类型，所以基本上是值的集合，但不是三元组。

文章说:

Let's take the String concatenation and Int addition as example monoids that have a relationship.

因此，作者显然还提到了二元运算符(在 (++) 的情况下为 String ，在 (+) 的情况下为 Int )。身份(在 String 的情况下为空字符串，在 0 的情况下 Int )保持隐式；在非正式英语对话中，将身份留给读者作为练习是很常见的。

现在假设我们有两个幺半群结构(M, ⊕, e_m)和(N, ⊗, e_n)，函数 f : M → N (如 length )被称为 monoid homomorphism [wiki]鉴于它成立 f(m₁⊕m₂)=f(m₁)⊗f(m₂ ) 对于所有元素 m₁, m₂∈M 并且该映射还保留单位元素:< em>f(e_m)=e_n.

例如length :: String -> Int是幺半群同态，因为我们可以考虑幺半群 ( String , (++) , "" ) 和 ( Int , (+) , 0 ) 。认为:

1. length (s1 ++ s2) == length s1 + length s2 (对于所有 String s s1 和 s2 )；和
2. length "" == 0 .