math - 了解 "randomness"

Question

我无法理解这个问题，哪个更随机？

rand()

或:

rand() * rand()

我发现这是一个真正的脑筋急转弯，你能帮我吗？

<小时/>

编辑:

凭直觉，我知道数学答案是它们同样随机，但我忍不住认为，如果您将两者相乘时“运行随机数算法”两次，您将创建更随机的东西而不是只做一次。

Answer 1

只是一个说明

尽管每当您尝试找出伪随机变量或其乘法的随机性时，前面的答案都是正确的，但您应该意识到，虽然 Random() 通常是均匀分布的， Random() * Random() 不是。

示例

这是一个uniform random distribution sample通过伪随机变量模拟:

        BarChart[BinCounts[RandomReal[{0, 1}, 50000], 0.01]]

这是两个随机变量相乘后得到的分布:

        BarChart[BinCounts[Table[RandomReal[{0, 1}, 50000] * 
                                 RandomReal[{0, 1}, 50000], {50000}], 0.01]]

所以，两者都是“随机”的，但它们的分布却截然不同。

另一个例子

虽然 2 * Random() 是均匀分布的:

        BarChart[BinCounts[2 * RandomReal[{0, 1}, 50000], 0.01]]

Random() + Random() 不是!

        BarChart[BinCounts[Table[RandomReal[{0, 1}, 50000] + 
                                 RandomReal[{0, 1}, 50000], {50000}], 0.01]]

中心极限定理

Central Limit Theorem指出 Random() 的总和趋于 normal distribution随着条款的增加。

只需四个术语，您就可以获得:

BarChart[BinCounts[Table[RandomReal[{0, 1}, 50000] + RandomReal[{0, 1}, 50000] +
                   Table[RandomReal[{0, 1}, 50000] + RandomReal[{0, 1}, 50000],
                   {50000}],
         0.01]]  

在这里，您可以通过将 1、2、4、6、10 和 20 个均匀分布的随机变量相加来看到从均匀分布到正态分布的过程:

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一些积分

感谢Thomas Ahle在评论中指出最后两张图像中显示的概率分布被称为 Irwin-Hall distribution

感谢Heike为她精彩torn[] function