matrix - 当给定行和列的总和时确定矩阵的元素

Question

有一个 4x4 矩阵，其中 4 个对角元素全部为零。所有其他元素都是非负整数。所有 4 行和 4 列的总和分别已知。是否可以确定矩阵的剩余 12 个元素？例如

0      1     1     0   sum=2
2      0     0     1   sum=3
4      1     0     0   sum=5
0      1     6     0   sum=7
sum=6 sum=3 sum=7 sum=1

任何指导都会非常有帮助。谢谢

Answer 1

矩阵为

0 a₁₂ a₁₃ a₁₄

a₂₁ 0 a₂₃ a₂₄

a₃₁ a₃₂ 0 a₃₄

a₄₁a₄₂a₄₃0

问题是求解一组线性方程:

a₁₂ + a₁₃ + a₁₄ = c₁

a₂₁ + a₂₃ + a₂₄ = c₂

等等。我们有 12 个变量和 8 个方程(4 个用于行，4 个用于列)。为了求解 12 个变量的线性方程组，我们通常需要 12 个方程。由于方程组较少，系统不会有唯一解。它可能有无限多个解。