math - 什么是 3D 矢量？它与 3D 点有何不同？

Question

在 3D 游戏数学中，3D 向量与 3D 点元组 (x,y,z) 有何不同？

如果它们不同，那么如何计算给定 3d 点的向​​量？

Answer 1

区别在于向量是一个代数对象，它可能会也可能不会作为某个空间中的坐标集给出。 (感谢bungalobill纠正我的草率)。

点只是由坐标给出的点。一般来说，人们可以将两者混为一谈。如果给你一组坐标，并告诉你它们构成一个“点”，而没有更多信息(基础的选择等)，那么你可以将这组数字交还给你，并合法地声称已经产生了一个向量。

两者之间最大的区别在于，对一个人做可以对另一个人做的事情是没有意义的。例如，

1. 您可以添加向量:<1 2 3> + <3 2 1> = <4 4 4>

2. 您可以将向量乘以(或缩放)数字(通常称为标量) 2 * <1 1 1> = <2 2 2>

3. 您可以询问两点相距多远:d((1, 2, 3), (3, 2, 1) = sqrt((1 - 3)² + (2 - 2)² + (3 - 1)²) = sqrt(8) ~= 2.82

考虑向量和点之间关联的一个很好的直观方法是，向量告诉您如何从原点(我们分配坐标 (0, 0, 0) 的空间中的一个点)开始到其关联点。

如果平移坐标系，则会得到同一点的新向量。尽管构成该点的坐标将经历相同的转换，因此在两者之间很容易合并。

同样，如果旋转坐标系或应用一些其他变换(例如剪切)，则与该点关联的坐标和向量也会改变。

向量也可能完全是其他东西，例如区间 [0, 1] 上的有界函数是一个向量，因为你可以将它乘以实数并将其添加到区间上的另一个函数，它将满足某些要求(即向量空间的公理)。在这种情况下，人们会想到 [0, 1] 中的每个实数 x 都有一个坐标，其中该坐标的值就是 f(x)。这是无限维向量空间最简单的例子。

有各种各样的向量空间，而向量是“点和方向”(或任何它应该是什么)的概念实际上是相当空洞的。