haskell - 如何证明单子(monad)是一个仿函数和一个应用仿函数？

Question

理论上，Monad 是仿函数和特定应用仿函数的子集，尽管 Haskell 的类型系统中没有指出这一点。

知道这一点，给定一个 monad 并基于 return和bind ，如何:

• 导出fmap ,
• 导出<*> ？

Answer 1

嗯，fmap只是 (a -> b) -> f a -> f b ，即我们想用纯函数转换一元 Action 的结果。使用 do 表示法很容易编写:

fmap f m = do
  a <- m
  return (f a)

或者，写成“原始”:

fmap f m = m >>= \a -> return (f a)

这可用作 Control.Monad.liftM .

pure :: a -> f a当然是return 。 (<*>) :: f (a -> b) -> f a -> f b有点棘手。我们有一个返回函数的操作，还有一个返回其参数的操作，并且我们希望有一个返回其结果的操作。再次用 do 表示法:

mf <*> mx = do
  f <- mf
  x <- mx
  return (f x)

或者，脱糖:

mf <*> mx =
  mf >>= \f ->
  mx >>= \x ->
  return (f x)

田田!这可通过 Control.Monad.ap 获得。 ，所以我们可以给出 Functor 的完整实例和Applicative对于任何单子(monad) M如下:

instance Functor M where
  fmap = liftM

instance Applicative M where
  pure = return
  (<*>) = ap

理想情况下，我们能够直接在Monad中指定这些实现。 ，减轻为每个 monad 定义单独实例的负担，例如 this proposal 。如果发生这种情况，那么创建Applicative就不存在真正的障碍了。 Monad 的父类(super class)，因为它将确保它不会破坏任何现有代码。另一方面，这意味着定义 Functor 涉及的样板文件和Applicative给定 Monad 的实例是最小的，所以很容易成为一个“好公民”(并且应该为任何 monad 定义这样的实例)。