math - 如何将方向向量转换为欧拉角？

Question

我正在寻找一种将方向矢量(X，Y，Z)转换为欧拉角(航向，俯仰，倾斜)的方法。我知道方向向量本身不足以获得倾斜角度，所以还有另一个所谓的向上向量。

有了方向向量 (X,Y,Z) 和向上向量 (X,Y,Z)，如何将其转换为欧拉角？

Answer 1

看看我的理解是否正确。这是关于三维空间中刚体的方向，就像飞行中的飞机一样。该飞机的机头指向方向矢量

D=(XD,YD,ZD) .

朝向屋顶的是向上向量

U=(XU,YU,ZU) .

那么航向 H 将是投影到地球表面的方向向量D:

H=(XD,YD,0) ,

带有相关的角度

angle_H=atan2(YD,XD) .

俯仰 P 是机头相对于地平线的上/下角度，如果方向向量 D 已归一化，则可以从

ZD=sin(angle_P)

结果

angle_P=asin(ZD) .

最后，对于倾斜角，我们考虑机翼的方向，假设机翼垂直于 body 。如果飞机直线飞向D，机翼垂直于D并平行于地球表面:

W0 = ( -YD, XD, 0 )

这将是 0 度的倾斜角。预期的向上矢量将垂直于 W0 并垂直于 D

U0 = W0 × D

其中×表示叉积。如果倾斜角为零，U 等于 U0，否则 U 和 U0 之间的角度就是倾斜角 angle_B，可以通过以下方式计算

cos(angle_B) = Dot(U0,U) / abs(U0) / abs(U)
sin(angle_B) = Dot(W0,U) / abs(W0) / abs(U) .

这里“abs”计算向量的长度。由此你可以得到倾斜角度为

angle_B = atan2( Dot(W0,U) / abs(W0), Dot(U0,U) / abs(U0) ) .

如果U和D标准化，标准化因子就会相互抵消。