math - 泛化算术运算符

Question

两个数字的乘法可以通过算法来定义，如下所示:“将第一个数字与其自身相加，次数等于第二个数字的值”。两个数字的求幂可以通过算法来定义，如下所示:“将第一个数字乘以等于第二个数字的值的次数”。思考乘法和求幂的这些定义引发了一些问题......

首先，能否以加法为基本运算来定义一类算术运算？我写了一些 haskell 代码来测试这个想法:

order1 x y = x + y
order2 x y = foldl (order1) x (replicate (y - 1) x)
order3 x y = foldl (order2) x (replicate (y - 1) x)
order4 x y = foldl (order3) x (replicate (y - 1) x)
order5 x y = foldl (order4) x (replicate (y - 1) x)

果然，“order2”的含义是乘法，“order3”的含义是求幂。据我所知，英语中缺少表示“orderN”(其中 N > 3)的单词。数学界对这些运算有什么有趣的说法吗？

此外，考虑到这些“顺序”函数的递归外观，如何编写这样的函数:

generalArithmetic :: Int -> Int -> Int -> Int
generalArithmetic n x y =   --Comment: what to put here?

当n等于2时表示乘法，当n等于3时表示求幂...？

此外，如何概括这些算术函数，以便它们可以对所有实数进行运算？毕竟，“replicate”的类型是 Int -> a -> [a]。

Answer 1

是的。您可以从皮亚诺算术作为第一顺序(增量)开始

Brainf*ck仅具有增量、减量和非零值检查。即使这样，它也可以进行任何其他计算机程序可以进行的任何计算，只要它始终有足够的内存并且您不急于获得答案。

此类属性称为 Turing completeness和Brainf*ck即使没有输入和输出也是如此。因此，< , > , + , - , [ ，和]您可以编写一个程序来解决其他编程语言可以解决的所有数学问题。

到目前为止，我已经编写了用它进行加法、减法、平均、乘法、除法、模数和平方根的程序。