math - 如何计算已知半径和圆心的圆上的点

Question

我有一个复杂的问题，它涉及到我对数学的理解，但我对此没有信心。

一些轻微的背景信息可能会有所帮助。我正在为 child 构建一个 3D 火车模拟器，它将使用 WebGL 在浏览器中运行。我正在尝试创建一个点网络来放置轨道 Assets (见图)并为火车移动提供引用。

为了帮助解释我的问题，我创建了一个视觉表示，因为我是一名可以编写脚本的设计师，而不是真正的程序员或数学家:

基本上，我有 3 个形状(图 A、B 和 C)，尽管它们有宽度，但可以表示为 A 的直线和曲线(B 和 C)。曲线 B 和 C 源自 A(经过弯曲修改)，因此长度 (l) 均相同，即 112。曲线 (B 和 C) 的半径 (r) 均为 285.5，弯曲角度 (a) 也相同为 22.5°。

每个形状(A、B 和 C)都有一个注册点(起点)，如每个形状所附的绿色框的中心所示。

我想做的是创建一个从 0, 0 开始的“轨道”网络(使用标准笛卡尔坐标)。

我的问题是在曲线之后放置下一个元素的位置。如果它是直线轨道，那么就没有问题，因为我可以使用长度作为沿 y 轴的恒定偏移，但这会很无聊，所以我需要添加曲线。

图。 D. 演示了可能的轨道布局的示例，但请理解，我并不是在寻找静态答案(基于图像中所有内容的位置)，我需要一个无论我如何配置轨道都可以应用的公式。

使用图 D。我尝试找出在第一个弯曲元素之后放置第二个弯曲元素的位置。我使用公式在给定圆心坐标和半径的情况下绘制圆的圆周上的点(图 E.)。

我有第 1 点，因为这只是设置直线长度(y 位置)的情况。我可以轻松算出圆心，因为这只是 y 位置偏移、半径 (r)(x 位置)偏移和始终为 22.5° 的角度 (a)(顺便说一下，它已转换为弧度)根据公式要求)。

通过公式传递这些值后，我没有得到正确的结果，因为公式假设我从 3 点钟开始逆时针工作，所以我必须从 (a) 中扣除 180 并将其转换为弧度得到预期的结果。

这确实有效，如果我想创建 180° 轨道曲线，我可以使用相同的中心点，每次只需从角度中扣除 22.5°。伟大的。但我想要一个更动态的轨道布局，如图所示。 D&E。

那么，我该如何处理图 E 中的工作点 5，因为它代表该曲线段的中心点？我根本不知道。

另外，作为一个额外的问题，这是这样做的正确方法还是我使事情过于复杂？

这个问题是阻止我构建游戏的唯一问题，正如您所理解的，它有点大，所以我提前感谢任何人的贡献。

Answer 1

当您构建轨道时，要放置的下一段轨道的位置需要相对于轨道当前末端的位置和方向。

我将存储一个 (x,y) 位置和一个角度 a 来指示当前点(使用 x,y 从 0 开始，a 从 pi/2 弧度开始，对应于“从 3 点钟开始逆时针”系统中的直线向上) .

然后构造

fx = cos(a);
fy = sin(a);
lx = -sin(a);
ly = cos(a);

对应于相对于我们当前面向的方向的“向前”和“向左”向量的 x 和 y 分量。如果我们想将位置向前移动一个单位，我们可以将 (x,y) 增加 (fx, fy)。

在您的情况下，放置直线部分的规则是:

x=x+112*fx
y=y+112*fy

放置曲线的规则稍微复杂一些。对于右转的曲线，我们需要向前移动112*sin(22.5°)，然后向右侧步112*(1-cos(22.5°)，然后顺时针旋转22.5°。在代码中，

x=x+285.206*sin(22.5*pi/180)*fx // Move forward
y=y+285.206*sin(22.5*pi/180)*fy

x=x+285.206*(1-cos(22.5*pi/180))*(-lx) // Side-step right
y=y+285.206*(1-cos(22.5*pi/180))*(-ly)

a=a-22.5*pi/180 // Turn to face new direction

左转就像右转一样，但角度为负。

要放置后续部件，只需再次运行此过程，计算 fx、fy、lx 和 ly 使用现在更新的 a 值，然后根据接下来的轨道片段类型递增 x 和 y。

您还可以考虑另一点；根据我的经验，如果您坚持进行 90° 转弯或更对称的布局，则用此类部件构建形成闭环的轨道通常会起作用。然而，制作不完全连接的轨道是很容易的，并且不明显看出应该如何修改它们以允许它们连接。如果您的程序允许 children 设计自己的布局，也许需要记住一些事情。