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假设您有一个程序 one_factor(N)
,给定一个 n
位二进制数 N
,它返回质数之一Theta(n^2)
时间中数字的因子(请注意,我在 theta 表示法中使用了小写的 n
。)
使用这个算法,我想找到一种有效的算法来将 n 位二进制数分解为素数并打印素数因子。此外,我想知道算法作为 n
的函数运行有多快,并且我还想计算我的算法使用 one_factor(N)
的大致次数oracle 在最坏的情况下作为 n
的函数。
假设两个 n
位二进制数的加/除/乘/减需要 Theta(n)
时间。
这是一个有效的算法:
one_factor(N)
。如果函数返回 N
,则 N
是素数,我们就完成了。否则,将这个质因数除掉并将其存储在某个地方。重复此过程,直到完成。现在我无法将此过程的运行时分析为 n
的函数。为简单起见,如果 N
是 2 的幂,则 n = log_2(N)
,但我不太确定如何从这里继续。
我不明白如何找到我们调用 one_factor
的最坏情况次数,而且我在分析最坏情况运行时间时也遇到了麻烦。
最佳答案
首先,预言机很棒,但速度很慢。所以你想先尝试进行试除。
来自Arithmetic functions in Wikipedia如果您使用 Newton–Raphson 除法和 Harvey-Hoeven 算法,则可以在 O(n log(n))
时间内完成检查是否能被素数 p
整除>。使用远小于 O(n^2)< 的埃拉托斯特尼筛筛时间,可以计算
。进行试除法可以在 O(n/log(n))
素数直至 n
/O(n^2)
时间内完成。 (使用更实用的乘法算法,您可以在稍微差一点的时间内完成它。这不会对整体结果产生影响。)
现在你引用你的预言机。每个预言机都需要时间O(n^2)
,并且与此相比,划分很小。它将数字的大小减少至少 n 倍。需要如何划分? O(log_n(2^n)) = O(log(2^n)/log(n)) = O(n/log(n))
。按照与上述相同的算法,每个除法都是O(n log(n))
。
生成的算法为O(n^2 * (n * log(n)) * n/log(n)) = O(n^4)
。请注意,/log(n)
是在咨询预言机之前进行试除所节省的费用。
请注意,您无法通过进行更多的试除法来改进这一点,因为如果您尝试遍历直到 n^2
的所有素数,您在试除法上花费的时间比原始算法要多,并且预言机部门的大O仍然是一样的。
关于algorithm - 使用预言机有效地对整数进行质因数分解,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/60064522/
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