math - 生成尺寸为 8x8 的正定矩阵

Question

我正在尝试生成一个尺寸为 8x8 的正定矩阵 (A'*A)。其中 A 是 1x8。

我对许多随机生成的矩阵 A 进行了尝试，但无法生成它。

octave-3.6.1.exe:166> A= (rand(1,8)+rand(1,8)*1i);
octave-3.6.1.exe:167> chol(A'*A);
error: chol: input matrix must be positive definite

谁能告诉我这里出了什么问题。提前感谢您的帮助。

Answer 1

这是不可能的，因为没有那种形式的矩阵是正定的。

声明:给定一个 1xn(实数，n>1)矩阵 A，对称矩阵 M = A'A 不是正定的:

证明: By definition , M 是正定的当且仅当 x'Mx > 0 对于所有非零 x。也就是说，当且仅当 x'A'Ax = (Ax)'Ax = (Ax)^2 = (A_1 x_1 + ... + A_n x_n) > 0 对于所有非零 x。

因为 A_i 的实际值是 linearly dependent ，存在x_i，不全为零，使得A_1 x_1 + ... + A_n x_n = 0。我们找到一个非零向量x使得x'Mx = 0，所以M不是正定的。

另一个可以直接应用于复数情况的证明是:令 A 为 1xn(复数，n>1)矩阵。正定性意味着可逆性，因此 M = A*A 必须具有满秩才能为正定性。它显然具有 1 阶，因此它不可逆，因此不是正定的。