haskell - 什么是偏序？

Question

我正在阅读 Bartosz Milewski 的程序员范畴论，但我没有得到 partial order 的想法。 。

我没有理解以下句子的上下文:

You can also have a stronger relation, that satisfies an additional condition that, if a <= b and b <= a then a must be the same as b. That’s called a partial order.

为什么a必须与b相同？例如，a = 4 和 b = 5，所以根本不一样。如果他提到

....if a = b and b = a....

那么是的，我会同意。

第二部分，我也不明白:

Finally, you can impose the condition that any two objects are in a relation with each other, one way or another; and that gives you a linear order or total order.

他是什么意思？

Answer 1

if a <= b ...

所以a = 4和b = 5满足第一个不等式

and b <= a

但它们不满足第二个不等式。所以，你的反例是无效的。

让我们忘记<=因为我怀疑它会欺骗你去思考整数或你熟悉的其他一些数字集。因此，我们将用某种任意关系重写它，例如 ¤

if a ¤ b is true

and b ¤ a is true

and this always implies that a is the same entity as b

then we call relation ¤ a "partial order" (over whatever set a, b are drawn from)

作者想说的是，对于某些关系，如果给定的规则为真，那么我们称该关系为偏序。这是作者对偏序的定义。如果您发现规则不成立的某些情况 - 这仅意味着您发现了一种不是偏序关系。

无论如何，定义部分顺序的原因是有时我们有对象的集合，并且我们无法将所有对象相互比较。

例如，一组不同科目的成绩:也许我可以决定一个学生是否比另一个学生更擅长英语，并且我可以决定一个学生是否比另一个学生更擅长音乐，但这没有意义讨论一个学生的英语是否比另一个学生的音乐更好。

最后一句话只是意味着，如果我们有一个关系至少是一个偏序(它满足给定的规则)并且它可以应用于你的整个集(假设我们只讨论英语成绩)，那么我们可以将其称为该集的全序。

<小时/>PS。碰巧，规则 确实适用于通常的 <=对于整数:因此，我们可以将关系称为 <= ℤ 上的偏序。由于它是为每对整数定义的，因此我们也可以调用 <= ℤ 上的总订单。

PPS。是的，部分顺序也需要传递性:我的回答实际上只解决了问题中引用的相当非正式的定义。您可以在Wolfram MathWorld找到更完整的定义。 , Wikipedia或任何地方。