geocoding - 使用 3 个纬度和经度点以及 3 个距离进行三边测量

Question

存在未知的目标位置(纬度和经度坐标)。我有 3 个纬度和经度坐标对，每对坐标到目标位置的距离(以公里为单位)。如何计算目标位置的坐标？

例如，假设我有以下数据点

37.418436,-121.963477   0.265710701754km
37.417243,-121.961889   0.234592423446km
37.418692,-121.960194   0.0548954278262km

我想要的是，将其作为输入并返回 37.417959,-121.961954 作为输出的函数的内部结构是什么样的？

我了解如何计算两点之间的距离，来自 http://www.movable-type.co.uk/scripts/latlong.html我理解的一般原则是，三个圆圈就可以得到一个重叠点。我不清楚的是用这个输入计算该点所需的数学。

Answer 1

维基百科在这里对代数进行了相当彻底的讨论: http://en.wikipedia.org/wiki/Trilateration

第一步，维基百科条目中没有真正涵盖，是将纬度/经度坐标转换为笛卡尔坐标:

x0 = cos( lon0 ) * cos( lat0 ) , y0 = sin( lon0 ) * cos( lat0 ) , z0 = sin( lat0 )
x1 = cos( lon1 ) * cos( lat0 ) , y1 = sin( lon1 ) * cos( lat1 ) , z1 = sin( lat1 )
x2 = cos( lon2 ) * cos( lat0 ) , y2 = sin( lon2 ) * cos( lat2 ) , z2 = sin( lat2 )

(为了使计算简单，我捏造了一些东西，因此我们使用“地球半径”而不是公里为单位)

对于你的数据，我得到

         p0            p1           p2
X   -0.420442596  -0.420430618  -0.42040255
Y   -0.67380418   -0.673826567  -0.673825967
Z    0.607631426   0.607614889   0.607634975

维基百科文章中介绍的下一步是简化坐标，方法是平移点，使 p0 位于原点，然后旋转，使 p1 位于 X 轴，p2 位于 X-Y 轴上飞机。

对于翻译，只需从 p1 和 p2 中减去 p0:

    p0a      p1a          p2a
X   0    1.19779E-05   4.00462E-05
Y   0   -2.23864E-05  -2.17865E-05
Z   0   -1.65372E-05   3.5486E-06

旋转并不困难。 p1b 得到 (x,y) = (d,0)，其中 d 就是从原点到 p1a 的距离(毕达哥拉斯定理)

对于 p2b，我们需要将 p2a 解析为两个分量:一个平行于 p1a(位于我们的 x 轴上)，另一个垂直于 p1a(位于“b”坐标系中的 y 轴上)。

为此，我们需要一个 p1a 方向的单位向量，即 p1a * ( 1/d )。将该单位向量(如果您愿意，可以将其称为 p1a_hat)与 p2a 进行点积，这就是 p2b 的 X 坐标。维基百科文章将此值称为“I”

现在 Y 坐标就很容易了。从原点到p2的长度在坐标变换下不会改变。因此，使用勾股定理计算 p2a 的长度，然后“向后”使用勾股定理来获得 p2b 的 Y 坐标以保持长度相同。这就是维基百科称之为“J”的变量。 (请注意，我将留下一个歧义，让您弄清楚 J 是正数还是负数)。

现在您已经获得了维基百科文章用于计算的三个变量 d、I 和 J。您现在可以通过乘以地球半径将它们转换回公里。您应该能够从这里完成其余的计算

(顺便说一句，维基百科对坐标变换给出了不同的计算。我喜欢尽可能避免三角函数)。