math - 求第一象限中圆和两条直线的切点

Question

我需要定义显式表达式来查找点 (x1,y1) 和 (x2,y2)，它们是半径为 r(已知)的圆和两条直线(已知方程)的两个切点。圆心 (x0,y0) 未知并且不需要。见下图。

就我而言，我有以下条件:

1. 第一象限的问题:x>0，y>0
2. 第 y=m1*x+b1 行，其中 m1<=0, b1>=0
3. 第 y=m2*x+b2 行，其中 m2 < m1, b2>b1
4. 圆心位于 y=m1*x+b1 上方，因此 y0>y1
5. 圆心位于右侧y=m2*x+b2，所以 x0>x2
6. 圆与直线 y=m1*x+b1 相切，因此 (y1-y0)/(x1-x0)=-1/m1
7. 圆与直线 y=m2*x+b2 相切，因此 (y2-y0)/(x2-x0)=-1/m2

我计算了以下内容:

x1, y1, x2, y2 = var('x1, y1, x2, y2')   # tangent points
m1, b1, m2, b2 = var('m1, b1, m2, b2')   # lines' eqn
x0, y0, r = var('x0, y0, r')             # cirsle's eqn

eq1 = (x1 - x0)^2 + (y1 - y0)^2 - r^2 == 0
eq2 = (x2 - x0)^2 + (y2 - y0)^2 - r^2 == 0
eq3 = y1 - m1*x1 - b1 == 0
eq4 = y2 - m2*x2 - b2 == 0
eq5 = (y1-y0)/(x1-x0) == -1/m1
eq6 = (y2-y0)/(x2-x0) == -1/m2

# unknown: x0,y0,x1,y1,x2,y2
#   known: m1,b1,m2,b2,r

solve([eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6,
       x1>0,y1>0,x2>0,y2>0,
       m1<=0,b1>=0,m2<m1,b2>b1,
       x0>x2,y0>y1,r>0],x0,y0,x1,y1,x2,y2)

为什么这不足以定义问题？

Answer 1

我根本不知道 Sage(我认为你的代码就在其中)或 Mathematica 的详细信息，但我可以指出一些困难。

首先，我相信您需要将定义的数学变量“捕获”到语言的变量中。所以你可能需要

x1, y1, x2, y2 = var('x1, y1, x2, y2')   # tangent points
m1, b1, m2, b2 = var('m1, b1, m2, b2')   # lines' eqn
x0, y0, r = var('x0, y0, r')        # cirsle's eqn

接下来，您将所有方程放入一个 solve 命令中。正如您从图表中看到的那样，圆上和两条直线上都没有点，但您尝试找到同时满足所有方程的所有点。您应该将单个 solve 拆分为两个命令，每一行一个命令。

接下来，您的要求中没有任何内容使您的线与给定曲线相切。对于大多数任意的圆和线来说，可能没有、一个或两个交点，并且极不可能恰好出现一个点。您需要限制每条线都与曲线相切。这种限制的编程难度适中，而且似乎并不比找到交点容易。您确定您使用的方法适合您的问题吗？

确保切点位于第一象限内还有其他困难，但这并不比其他困难重要。

最后，您的代码中没有任何内容表明您的已知值为 m1, b1, m2, b2, r 并且您希望删除 x0, y0的最终表达。 (您确实声明需要 x1, y1, x2, y2 的表达式。)我不知道如何在 Sage 或 Mathematica 中执行此操作。

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所涉及的数学问题并不那么困难。点 (x0, y0) 必须位于与给定线平行的线上，并且与线的距离为 r。这导致(x0, y0) 得到四个点。对于每个点，您都可以找到给定线上最接近这些点 (x0, y0) 的点。总共产生四个点，然后您只需选择第一象限中的点即可。另一种更快的三角方法是找到两条给定线之间的角度，然后您可以使用 trig 找到所需点与交点的距离，然后找到这些点。

您确定需要 Sage/Mathematica 为您做这件事吗？