fortran - 使用有限差分计算一阶和二阶导数时边界误差较大-6ren

fortran - 使用有限差分计算一阶和二阶导数时边界误差较大

转载作者：行者123 更新时间：2023-12-02 18:38:32

我正在使用有限差分计算存储在 3d 数组 a(n1,n2,n3) 中的函数 a(x,y,z) 的一阶和二阶导数。这里边界处的函数值为零。这是 Fortran 语言的代码:

implicit none
integer i1,i2,i3

integer, parameter :: n1 = 33
integer, parameter :: n2 = 33
integer, parameter :: n3 = 32

real*8 pi, a(n1,n2,n3), a2(n1,n2,n3), z(n3),x(n1),y(n2),h,a1(n1,n2,n3)
real*8 num(n1,n2,n3),deno(n1,n2,n3),diff(n1,n2,1),A0,dx,dy

pi=3.14159265358979323846d0
dx=2.0d0*pi/(n1-1)
dy=4.0d0*pi/(n2-1)

do i1=1,n1
  x(i1)=-pi+(i1-1)*dx
  do i2=1,n2
    y(i2)=-2.0d0*pi+(i2-1)*dy
    do i3=1,n3
      z(i3)=(i3-1)*2.0d0*pi/n3
      a(i1,i2,1)= dcos(x(i1)/2.0d0) * dcos(y(i2)/4.0d0)  !input array
      a1(i1,i2,1)= - 0.25d0*dcos(x(i1)/2.0d0) * dsin(y(i2)/4.0d0)  !analytical expression of first order y-derivative
    enddo
  enddo
enddo

do i1=1,n1
  do i2=1,n2
    write(20,*)x(i1),y(i2),a(i1,i2,1)
  enddo
enddo
call d1y(n1,n2,n3,a,a2)
do i1=1,n1
  do i2=1,n2
     num(i1,i2,1)=(a2(i1,i2,1)-a1(i1,i2,1))  !numerator of error calculation
     deno(i1,i2,1)=a2(i1,i2,1)               !denomenator of error calculation
     if (dabs(deno(i1,i2,1)) .lt. 1e-10)deno(i1,i2,1)=1.0d0
     diff(i1,i2,1)=dabs(num(i1,i2,1))/dabs(deno(i1,i2,1))  !relative error in 1st order derivative calculation
    write(21,*)x(i1),y(i2),a(i1,i2,1),a2(i1,i2,1),diff(i1,i2,1),a1(i1,i2,1)
    write(21,*)
  enddo
enddo
end

subroutine d1y(n1,n2,n3,a,a2)
implicit none
integer n1, n2, n3, i1, i2, i3
real*8 pi, a(n1,n2,n3), a2(n1,n2,n3), z(n3),x(n1),y(n2),h,a1(n1,n2,n3)
pi=3.14159265358979323846d0
h=4.0d0*pi/(n2-1)

do i1=1,n1
   do i3=1,n3
      do i2=1,n2
         if(i2 .eq. 1)then
            a2(i1,i2,i3)=( -3.0d0*a(i1,i2,i3) + 4.0d0*a(i1,i2+1,i3) - a(i1,i2+2,i3) )/ (2.0d0*h)
          else if(i2 .eq. n2)then
            a2(i1,i2,i3)=( 3.0d0*a(i1,i2,i3) - 4.0d0*a(i1,i2-1,i3) + a(i1,i2-2,i3) )/ (2.0d0*h)
          else
            a2(i1,i2,i3)=( a(i1,i2+1,i3) - a(i1,i2-1,i3) )/ (2.0d0*h)
          endif
       enddo
    enddo
 enddo     
end subroutine

我的输入函数a(i1,i2,1)= dcos(x(i1)/2.0d0) * dcos(y(i2)/4.0d0)，因此示例输入数据(对于网格编号 17*17*16)

    -3.1415926535897931       -6.2831853071795862        3.7493994566546440E-033
  -3.1415926535897931       -5.4977871437821380        1.1945836920083898E-017
  -3.1415926535897931       -4.7123889803846897        2.3432602026631496E-017
  -3.1415926535897931       -3.9269908169872414        3.4018865378450254E-017
  -3.1415926535897931       -3.1415926535897931        4.3297802811774670E-017
  -3.1415926535897931       -2.3561944901923448        5.0912829964730140E-017
  -3.1415926535897931       -1.5707963267948966        5.6571305614385013E-017
  -3.1415926535897931      -0.78539816339744828        6.0055777714832775E-017
  -3.1415926535897931        0.0000000000000000        6.1232339957367660E-017
  -3.1415926535897931       0.78539816339744828        6.0055777714832775E-017
  -3.1415926535897931        1.5707963267948966        5.6571305614385013E-017
  -3.1415926535897931        2.3561944901923439        5.0912829964730146E-017
  -3.1415926535897931        3.1415926535897931        4.3297802811774670E-017
  -3.1415926535897931        3.9269908169872423        3.4018865378450242E-017
  -3.1415926535897931        4.7123889803846897        2.3432602026631496E-017
  -3.1415926535897931        5.4977871437821371        1.1945836920083910E-017
  -3.1415926535897931        6.2831853071795862        3.7493994566546440E-033
  -2.7488935718910690       -6.2831853071795862        1.1945836920083898E-017
  -2.7488935718910690       -5.4977871437821380        3.8060233744356645E-002
  -2.7488935718910690       -4.7123889803846897        7.4657834050342639E-002
  -2.7488935718910690       -3.9269908169872414       0.10838637566236967     
  -2.7488935718910690       -3.1415926535897931       0.13794968964147156     
  -2.7488935718910690       -2.3561944901923448       0.16221167441072892     
  -2.7488935718910690       -1.5707963267948966       0.18023995550173702     
  -2.7488935718910690      -0.78539816339744828       0.19134171618254495     
  -2.7488935718910690        0.0000000000000000       0.19509032201612833     
  -2.7488935718910690       0.78539816339744828       0.19134171618254495     
  -2.7488935718910690        1.5707963267948966       0.18023995550173702     
  -2.7488935718910690        2.3561944901923439       0.16221167441072895     
  -2.7488935718910690        3.1415926535897931       0.13794968964147156     
  -2.7488935718910690        3.9269908169872423       0.10838637566236962     
  -2.7488935718910690        4.7123889803846897        7.4657834050342639E-002
  -2.7488935718910690        5.4977871437821371        3.8060233744356686E-002
  -2.7488935718910690        6.2831853071795862        1.1945836920083898E-017
  -2.3561944901923448       -6.2831853071795862        2.3432602026631496E-017
  -2.3561944901923448       -5.4977871437821380        7.4657834050342639E-002
  -2.3561944901923448       -4.7123889803846897       0.14644660940672630     
  -2.3561944901923448       -3.9269908169872414       0.21260752369181418     
  -2.3561944901923448       -3.1415926535897931       0.27059805007309856     
  -2.3561944901923448       -2.3561944901923448       0.31818964514320852     
  -2.3561944901923448       -1.5707963267948966       0.35355339059327384     
  -2.3561944901923448      -0.78539816339744828       0.37533027751786530     
  -2.3561944901923448        0.0000000000000000       0.38268343236508984     
  -2.3561944901923448       0.78539816339744828       0.37533027751786530     
  -2.3561944901923448        1.5707963267948966       0.35355339059327384     
  -2.3561944901923448        2.3561944901923439       0.31818964514320858     
  -2.3561944901923448        3.1415926535897931       0.27059805007309856     
  -2.3561944901923448        3.9269908169872423       0.21260752369181410     
  -2.3561944901923448        4.7123889803846897       0.14644660940672630     
  -2.3561944901923448        5.4977871437821371        7.4657834050342722E-002
  -2.3561944901923448        6.2831853071795862        2.3432602026631496E-017
  -1.9634954084936207       -6.2831853071795862        3.4018865378450254E-017
  -1.9634954084936207       -5.4977871437821380       0.10838637566236967     
  -1.9634954084936207       -4.7123889803846897       0.21260752369181418     
  -1.9634954084936207       -3.9269908169872414       0.30865828381745519     
  -1.9634954084936207       -3.1415926535897931       0.39284747919355117     
  -1.9634954084936207       -2.3561944901923448       0.46193976625564342     
  -1.9634954084936207       -1.5707963267948966       0.51327996715933677     
  -1.9634954084936207      -0.78539816339744828       0.54489510677581865     
  -1.9634954084936207        0.0000000000000000       0.55557023301960229     
  -1.9634954084936207       0.78539816339744828       0.54489510677581865     
  -1.9634954084936207        1.5707963267948966       0.51327996715933677     
  -1.9634954084936207        2.3561944901923439       0.46193976625564348     
  -1.9634954084936207        3.1415926535897931       0.39284747919355117     
  -1.9634954084936207        3.9269908169872423       0.30865828381745508     
  -1.9634954084936207        4.7123889803846897       0.21260752369181418     
  -1.9634954084936207        5.4977871437821371       0.10838637566236978     
  -1.9634954084936207        6.2831853071795862        3.4018865378450254E-017
  -1.5707963267948966       -6.2831853071795862        4.3297802811774670E-017
  -1.5707963267948966       -5.4977871437821380       0.13794968964147156     
  -1.5707963267948966       -4.7123889803846897       0.27059805007309856     
  -1.5707963267948966       -3.9269908169872414       0.39284747919355117     
  -1.5707963267948966       -3.1415926535897931       0.50000000000000011     
  -1.5707963267948966       -2.3561944901923448       0.58793780120967942     
  -1.5707963267948966       -1.5707963267948966       0.65328148243818829     
  -1.5707963267948966      -0.78539816339744828       0.69351992266107376     
  -1.5707963267948966        0.0000000000000000       0.70710678118654757     
  -1.5707963267948966       0.78539816339744828       0.69351992266107376     
  -1.5707963267948966        1.5707963267948966       0.65328148243818829     
  -1.5707963267948966        2.3561944901923439       0.58793780120967942     
  -1.5707963267948966        3.1415926535897931       0.50000000000000011     
  -1.5707963267948966        3.9269908169872423       0.39284747919355101     
  -1.5707963267948966        4.7123889803846897       0.27059805007309856     
  -1.5707963267948966        5.4977871437821371       0.13794968964147170     
  -1.5707963267948966        6.2831853071795862        4.3297802811774670E-017
  -1.1780972450961724       -6.2831853071795862        5.0912829964730140E-017
  -1.1780972450961724       -5.4977871437821380       0.16221167441072892     
  -1.1780972450961724       -4.7123889803846897       0.31818964514320852     
  -1.1780972450961724       -3.9269908169872414       0.46193976625564342     
  -1.1780972450961724       -3.1415926535897931       0.58793780120967942     
  -1.1780972450961724       -2.3561944901923448       0.69134171618254492     
  -1.1780972450961724       -1.5707963267948966       0.76817775671141630     
  -1.1780972450961724      -0.78539816339744828       0.81549315684891710     
  -1.1780972450961724        0.0000000000000000       0.83146961230254524     
  -1.1780972450961724       0.78539816339744828       0.81549315684891710     
  -1.1780972450961724        1.5707963267948966       0.76817775671141630     
  -1.1780972450961724        2.3561944901923439       0.69134171618254503     
  -1.1780972450961724        3.1415926535897931       0.58793780120967942     
  -1.1780972450961724        3.9269908169872423       0.46193976625564326     
  -1.1780972450961724        4.7123889803846897       0.31818964514320852     
  -1.1780972450961724        5.4977871437821371       0.16221167441072909     
  -1.1780972450961724        6.2831853071795862        5.0912829964730140E-017
 -0.78539816339744828       -6.2831853071795862        5.6571305614385013E-017
 -0.78539816339744828       -5.4977871437821380       0.18023995550173702     
 -0.78539816339744828       -4.7123889803846897       0.35355339059327384     
 -0.78539816339744828       -3.9269908169872414       0.51327996715933677     
 -0.78539816339744828       -3.1415926535897931       0.65328148243818829     
 -0.78539816339744828       -2.3561944901923448       0.76817775671141630     
 -0.78539816339744828       -1.5707963267948966       0.85355339059327373     
 -0.78539816339744828      -0.78539816339744828       0.90612744635288778     
 -0.78539816339744828        0.0000000000000000       0.92387953251128674     
 -0.78539816339744828       0.78539816339744828       0.90612744635288778     
 -0.78539816339744828        1.5707963267948966       0.85355339059327373     
 -0.78539816339744828        2.3561944901923439       0.76817775671141642     
 -0.78539816339744828        3.1415926535897931       0.65328148243818829     
 -0.78539816339744828        3.9269908169872423       0.51327996715933655     
 -0.78539816339744828        4.7123889803846897       0.35355339059327384     
 -0.78539816339744828        5.4977871437821371       0.18023995550173721     
 -0.78539816339744828        6.2831853071795862        5.6571305614385013E-017
 -0.39269908169872414       -6.2831853071795862        6.0055777714832775E-017
 -0.39269908169872414       -5.4977871437821380       0.19134171618254495     
 -0.39269908169872414       -4.7123889803846897       0.37533027751786530     
 -0.39269908169872414       -3.9269908169872414       0.54489510677581865     
 -0.39269908169872414       -3.1415926535897931       0.69351992266107376     
 -0.39269908169872414       -2.3561944901923448       0.81549315684891710     
 -0.39269908169872414       -1.5707963267948966       0.90612744635288778     
 -0.39269908169872414      -0.78539816339744828       0.96193976625564337     
 -0.39269908169872414        0.0000000000000000       0.98078528040323043     
 -0.39269908169872414       0.78539816339744828       0.96193976625564337     
 -0.39269908169872414        1.5707963267948966       0.90612744635288778     
 -0.39269908169872414        2.3561944901923439       0.81549315684891721     
 -0.39269908169872414        3.1415926535897931       0.69351992266107376     
 -0.39269908169872414        3.9269908169872423       0.54489510677581843     
 -0.39269908169872414        4.7123889803846897       0.37533027751786530     
 -0.39269908169872414        5.4977871437821371       0.19134171618254514     
 -0.39269908169872414        6.2831853071795862        6.0055777714832775E-017
   0.0000000000000000       -6.2831853071795862        6.1232339957367660E-017
   0.0000000000000000       -5.4977871437821380       0.19509032201612833     
   0.0000000000000000       -4.7123889803846897       0.38268343236508984     
   0.0000000000000000       -3.9269908169872414       0.55557023301960229     
   0.0000000000000000       -3.1415926535897931       0.70710678118654757     
   0.0000000000000000       -2.3561944901923448       0.83146961230254524     
   0.0000000000000000       -1.5707963267948966       0.92387953251128674     
   0.0000000000000000      -0.78539816339744828       0.98078528040323043     
   0.0000000000000000        0.0000000000000000        1.0000000000000000     
   0.0000000000000000       0.78539816339744828       0.98078528040323043     
   0.0000000000000000        1.5707963267948966       0.92387953251128674     
   0.0000000000000000        2.3561944901923439       0.83146961230254535     
   0.0000000000000000        3.1415926535897931       0.70710678118654757     
   0.0000000000000000        3.9269908169872423       0.55557023301960207     
   0.0000000000000000        4.7123889803846897       0.38268343236508984     
   0.0000000000000000        5.4977871437821371       0.19509032201612853     
   0.0000000000000000        6.2831853071795862        6.1232339957367660E-017
  0.39269908169872414       -6.2831853071795862        6.0055777714832775E-017
  0.39269908169872414       -5.4977871437821380       0.19134171618254495     
  0.39269908169872414       -4.7123889803846897       0.37533027751786530     
  0.39269908169872414       -3.9269908169872414       0.54489510677581865     
  0.39269908169872414       -3.1415926535897931       0.69351992266107376     
  0.39269908169872414       -2.3561944901923448       0.81549315684891710     
  0.39269908169872414       -1.5707963267948966       0.90612744635288778     
  0.39269908169872414      -0.78539816339744828       0.96193976625564337     
  0.39269908169872414        0.0000000000000000       0.98078528040323043     
  0.39269908169872414       0.78539816339744828       0.96193976625564337     
  0.39269908169872414        1.5707963267948966       0.90612744635288778     
  0.39269908169872414        2.3561944901923439       0.81549315684891721     
  0.39269908169872414        3.1415926535897931       0.69351992266107376     
  0.39269908169872414        3.9269908169872423       0.54489510677581843     
  0.39269908169872414        4.7123889803846897       0.37533027751786530     
  0.39269908169872414        5.4977871437821371       0.19134171618254514     
  0.39269908169872414        6.2831853071795862        6.0055777714832775E-017
  0.78539816339744828       -6.2831853071795862        5.6571305614385013E-017
  0.78539816339744828       -5.4977871437821380       0.18023995550173702     
  0.78539816339744828       -4.7123889803846897       0.35355339059327384     
  0.78539816339744828       -3.9269908169872414       0.51327996715933677     
  0.78539816339744828       -3.1415926535897931       0.65328148243818829     
  0.78539816339744828       -2.3561944901923448       0.76817775671141630     
  0.78539816339744828       -1.5707963267948966       0.85355339059327373     
  0.78539816339744828      -0.78539816339744828       0.90612744635288778     
  0.78539816339744828        0.0000000000000000       0.92387953251128674     
  0.78539816339744828       0.78539816339744828       0.90612744635288778     
  0.78539816339744828        1.5707963267948966       0.85355339059327373     
  0.78539816339744828        2.3561944901923439       0.76817775671141642     
  0.78539816339744828        3.1415926535897931       0.65328148243818829     
  0.78539816339744828        3.9269908169872423       0.51327996715933655     
  0.78539816339744828        4.7123889803846897       0.35355339059327384     
  0.78539816339744828        5.4977871437821371       0.18023995550173721     
  0.78539816339744828        6.2831853071795862        5.6571305614385013E-017
   1.1780972450961720       -6.2831853071795862        5.0912829964730146E-017
   1.1780972450961720       -5.4977871437821380       0.16221167441072895     
   1.1780972450961720       -4.7123889803846897       0.31818964514320858     
   1.1780972450961720       -3.9269908169872414       0.46193976625564348     
   1.1780972450961720       -3.1415926535897931       0.58793780120967942     
   1.1780972450961720       -2.3561944901923448       0.69134171618254503     
   1.1780972450961720       -1.5707963267948966       0.76817775671141642     
   1.1780972450961720      -0.78539816339744828       0.81549315684891721     
   1.1780972450961720        0.0000000000000000       0.83146961230254535     
   1.1780972450961720       0.78539816339744828       0.81549315684891721     
   1.1780972450961720        1.5707963267948966       0.76817775671141642     
   1.1780972450961720        2.3561944901923439       0.69134171618254503     
   1.1780972450961720        3.1415926535897931       0.58793780120967942     
   1.1780972450961720        3.9269908169872423       0.46193976625564331     
   1.1780972450961720        4.7123889803846897       0.31818964514320858     
   1.1780972450961720        5.4977871437821371       0.16221167441072912     
   1.1780972450961720        6.2831853071795862        5.0912829964730146E-017
   1.5707963267948966       -6.2831853071795862        4.3297802811774670E-017
   1.5707963267948966       -5.4977871437821380       0.13794968964147156     
   1.5707963267948966       -4.7123889803846897       0.27059805007309856     
   1.5707963267948966       -3.9269908169872414       0.39284747919355117     
   1.5707963267948966       -3.1415926535897931       0.50000000000000011     
   1.5707963267948966       -2.3561944901923448       0.58793780120967942     
   1.5707963267948966       -1.5707963267948966       0.65328148243818829     
   1.5707963267948966      -0.78539816339744828       0.69351992266107376     
   1.5707963267948966        0.0000000000000000       0.70710678118654757     
   1.5707963267948966       0.78539816339744828       0.69351992266107376     
   1.5707963267948966        1.5707963267948966       0.65328148243818829     
   1.5707963267948966        2.3561944901923439       0.58793780120967942     
   1.5707963267948966        3.1415926535897931       0.50000000000000011     
   1.5707963267948966        3.9269908169872423       0.39284747919355101     
   1.5707963267948966        4.7123889803846897       0.27059805007309856     
   1.5707963267948966        5.4977871437821371       0.13794968964147170     
   1.5707963267948966        6.2831853071795862        4.3297802811774670E-017
   1.9634954084936211       -6.2831853071795862        3.4018865378450242E-017
   1.9634954084936211       -5.4977871437821380       0.10838637566236962     
   1.9634954084936211       -4.7123889803846897       0.21260752369181410     
   1.9634954084936211       -3.9269908169872414       0.30865828381745508     
   1.9634954084936211       -3.1415926535897931       0.39284747919355101     
   1.9634954084936211       -2.3561944901923448       0.46193976625564326     
   1.9634954084936211       -1.5707963267948966       0.51327996715933655     
   1.9634954084936211      -0.78539816339744828       0.54489510677581843     
   1.9634954084936211        0.0000000000000000       0.55557023301960207     
   1.9634954084936211       0.78539816339744828       0.54489510677581843     
   1.9634954084936211        1.5707963267948966       0.51327996715933655     
   1.9634954084936211        2.3561944901923439       0.46193976625564331     
   1.9634954084936211        3.1415926535897931       0.39284747919355101     
   1.9634954084936211        3.9269908169872423       0.30865828381745491     
   1.9634954084936211        4.7123889803846897       0.21260752369181410     
   1.9634954084936211        5.4977871437821371       0.10838637566236972     
   1.9634954084936211        6.2831853071795862        3.4018865378450242E-017
   2.3561944901923448       -6.2831853071795862        2.3432602026631496E-017
   2.3561944901923448       -5.4977871437821380        7.4657834050342639E-002
   2.3561944901923448       -4.7123889803846897       0.14644660940672630     
   2.3561944901923448       -3.9269908169872414       0.21260752369181418     
   2.3561944901923448       -3.1415926535897931       0.27059805007309856     
   2.3561944901923448       -2.3561944901923448       0.31818964514320852     
   2.3561944901923448       -1.5707963267948966       0.35355339059327384     
   2.3561944901923448      -0.78539816339744828       0.37533027751786530     
   2.3561944901923448        0.0000000000000000       0.38268343236508984     
   2.3561944901923448       0.78539816339744828       0.37533027751786530     
   2.3561944901923448        1.5707963267948966       0.35355339059327384     
   2.3561944901923448        2.3561944901923439       0.31818964514320858     
   2.3561944901923448        3.1415926535897931       0.27059805007309856     
   2.3561944901923448        3.9269908169872423       0.21260752369181410     
   2.3561944901923448        4.7123889803846897       0.14644660940672630     
   2.3561944901923448        5.4977871437821371        7.4657834050342722E-002
   2.3561944901923448        6.2831853071795862        2.3432602026631496E-017
   2.7488935718910685       -6.2831853071795862        1.1945836920083910E-017
   2.7488935718910685       -5.4977871437821380        3.8060233744356686E-002
   2.7488935718910685       -4.7123889803846897        7.4657834050342722E-002
   2.7488935718910685       -3.9269908169872414       0.10838637566236978     
   2.7488935718910685       -3.1415926535897931       0.13794968964147170     
   2.7488935718910685       -2.3561944901923448       0.16221167441072909     
   2.7488935718910685       -1.5707963267948966       0.18023995550173721     
   2.7488935718910685      -0.78539816339744828       0.19134171618254514     
   2.7488935718910685        0.0000000000000000       0.19509032201612853     
   2.7488935718910685       0.78539816339744828       0.19134171618254514     
   2.7488935718910685        1.5707963267948966       0.18023995550173721     
   2.7488935718910685        2.3561944901923439       0.16221167441072912     
   2.7488935718910685        3.1415926535897931       0.13794968964147170     
   2.7488935718910685        3.9269908169872423       0.10838637566236972     
   2.7488935718910685        4.7123889803846897        7.4657834050342722E-002
   2.7488935718910685        5.4977871437821371        3.8060233744356721E-002
   2.7488935718910685        6.2831853071795862        1.1945836920083910E-017
   3.1415926535897931       -6.2831853071795862        3.7493994566546440E-033
   3.1415926535897931       -5.4977871437821380        1.1945836920083898E-017
   3.1415926535897931       -4.7123889803846897        2.3432602026631496E-017
   3.1415926535897931       -3.9269908169872414        3.4018865378450254E-017
   3.1415926535897931       -3.1415926535897931        4.3297802811774670E-017
   3.1415926535897931       -2.3561944901923448        5.0912829964730140E-017
   3.1415926535897931       -1.5707963267948966        5.6571305614385013E-017
   3.1415926535897931      -0.78539816339744828        6.0055777714832775E-017
   3.1415926535897931        0.0000000000000000        6.1232339957367660E-017
   3.1415926535897931       0.78539816339744828        6.0055777714832775E-017
   3.1415926535897931        1.5707963267948966        5.6571305614385013E-017
   3.1415926535897931        2.3561944901923439        5.0912829964730146E-017
   3.1415926535897931        3.1415926535897931        4.3297802811774670E-017
   3.1415926535897931        3.9269908169872423        3.4018865378450242E-017
   3.1415926535897931        4.7123889803846897        2.3432602026631496E-017
   3.1415926535897931        5.4977871437821371        1.1945836920083910E-017
   3.1415926535897931        6.2831853071795862        3.7493994566546440E-033

输入输出功能如下图所示。
由于输出函数与 - 0.25d0*dcos(x(i1)/2.0d0) * dsin(y(i2)/4.0d0) 相同，这表明导数计算是正确的。在子程序“d1y”中，我使用前向和后向有限差分公式来计算边界处的导数以及位于两个边界之间的点的中心差。然后我计算了相对误差。我在 y 轴边界处得到了 0.003 的误差，在边界之间的点处得到了 0.0015 的误差，如下图所示。

我使用相同的技术计算了二阶导数。子程序如下:

`subroutine d2y(n1,n2,n3,a,a2)
    implicit none
    integer n1, n2, n3, i1, i2, i3
    real*8 pi, a(n1,n2,n3), a2(n1,n2,n3), z(n3),x(n1),y(n2),h
    pi=3.14159265358979323846d0
    h=4.0d0*pi/(n2-1)
    a2=0.0d0
    i3 =1
      do i1=1,n1
        do i2=1,n2
          if(i2 == 1)then
             a2(i1,i2,i3)=( 2.0d0*a(i1,i2,i3) - 5.0d0*a(i1,i2+1,i3) + 4.0d0*a(i1,i2+2,i3) - a(i1,i2+3,i3))/(h*h)
          else if( i2 == n2)then
             a2(i1,i2,i3)=( 2.0d0*a(i1,i2,i3) - 5.0d0*a(i1,i2-1,i3) + 4.0d0*a(i1,i2-2,i3) - a(i1,i2-3,i3))/(h*h)
          else
             a2(i1,i2,i3)= ( a(i1,i2+1,i3) - 2.0d0*a(i1,i2,i3) + a(i1,i2-1,i3) )/(h*h)
          endif
        enddo
      enddo
   ! enddo 

    end subroutine

这里的边界误差也很大，事实上，与一阶导数相比，误差非常大，如图: 。
为什么边界误差这么大？请解释一下。

最佳答案

首先，我的观点是正确的。名称“前向差分”和“后向差分”通常指的是标准一阶公式。您确实有正确的二阶单边一阶导数公式。

二阶一阶导数前向差分公式由 x+h 和 x+2h 处的泰勒级数表达式推导如下:

f(x+h) = f(x) + h*f'(x) + h^2*f''(x)/2! + h^3*f'''(x)/3! ....

f(x+2h) = f(x) + 2h*f'(x) + 4h^2*f''(x)/2! + 8h^3*f'''(x)/3! ....

现在，取第一个系列的 4 倍并减去第二个系列并求解 f'(x)。请注意，二阶导数项消失了。

f'(x) = 3h/2 * f(x) - 2/h *f(x+h) + 1/(2h) * f(x+2h) + 0 - 4h^2*f' ''(x)/3!

这是您正在使用的公式，它是二阶精确的。这并不意味着精度与中心差精度相同，只是精度的顺序相同。

如果在保留误差项的情况下查看中心差的推导，您会发现误差项如下所示:

-h^2*f'''(x)/6

你有没有注意到，前向差分公式中的误差项前面有一个常数。一般来说，误差总是会比较大。但这并不是二阶准确的含义。准确度顺序告诉您当更改 h 时误差如何变化。

例如，如果将 h 减半，您应该获得大约 4 倍的准确度。这意味着在上面的示例中，中心差异误差将从约 0.0015 变为约 0.0004，边界误差将从约 0.003 变为约 0.0008

最终要点:您的程序是正确的，您的错误也是正确的!

关于fortran - 使用有限差分计算一阶和二阶导数时边界误差较大，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题： https://stackoverflow.com/questions/53239057/

文章推荐： parsing - 使用 Clang 生成调用图

文章推荐： directx - IDirect3D9::GetAdapterCount 找不到我的第二 block 显卡

服务器端的 Firebird 计算(计算)字段
SQL 和一般开发的新手，我有一个表(COUNTRIES)，其中包含字段(INDEX、NAME、POPULATION、AREA) 通常我添加一个客户端(Delphi)计算字段(DENSITY)和 On
jquery - 计算(百分比)计算(像素)
我想使用 calc(100%-100px)，但在我的 demo 中不起作用由于高度只接受像素，因此如何将此百分比值转换为像素。最佳答案以下将为您提供高度: $(window).height();
MySql 计算
我正在尝试在 MySQL 中添加列并动态填充其他列。例如我有一张表“数字”并具有第 1 列、第 2 列、第 3 列，这些总数应填充在第 4 列中最佳答案除非我误解了你的问题，否则你不只是在寻找:
mysql - 计算
我想返回简单计算的结果，但我不确定如何执行此操作。我的表格如下: SELECT COUNT(fb.engineer_id) AS `total_feedback`, SUM(fb.ra
嵌套for循环中的c++计算
我一直在尝试做这个程序，但我被卡住了，我仍然是一个初学者，任何帮助将不胜感激。我需要程序来做打印一个 10 X 10 的表格，其中表格中的每个条目都是行号和列号的总和包含一个累加器，用于计算所有表
c - 计算
这个计算背后一定有一些逻辑。但我无法得到它。普通数学不会导致这种行为。谁能帮我解释一下原因 printf ("float %f\n", 2/7 * 100.0); 结果打印 1.000000 为什么会
计算 AND 的算法
我想计算从 0 到 (n)^{1/2} - 1 的数字的 AND每个数字从 0 到 (n)^{1/2} - 1 .我想在 O(n) 中执行此操作时间，不能使用 XOR、OR、AND 运算。具体来说，
Excel - 在数字格式中使用公式/计算
如何在 Excel 中将公式放入自定义数字格式？例如(出于说明目的随机示例)，假设我有以下数据: 输入输出在不编辑单元格中的实际数据的情况下，我想显示单元格中的值除以 2，并保留两位小数: 有没
Flutter:隔离内存泄漏(计算)
每次我在 Flutter 应用程序中调用计算()时，我都会看到内存泄漏，据我所知，这基本上只是一种生成隔离的便捷方法。我的应用程序内存占用增加并且在 GC 之后永远不会减少。我已将我的代码简化为仅调
R中的RMSE(均方根偏差)计算
我有数字特征观察 V1通过 V12用于目标变量 Wavelength .我想计算 Vx 之间的 RMSE列。数据格式如下。每个变量“Vx”以 5 分钟的间隔进行测量。我想计算所有 Vx 变量的观测值
计算 C 文件中未知数量的字符
我正在寻找一种使用 C 语言计算文件中未知字符数的简单方法。谢谢你的帮助最佳答案 POSIX 方式(可能是您想要的方式): off_t get_file_length( FILE *file ) {
sql - 计算/派生连续日期跨度中的第一个开始日期
我正在使用 Postgres，并且我正试图围绕如何在连续日期跨度中得出第一个开始日期的问题进行思考。例如 :- ID | Start Date | End Date =================
jquery - 计算，用逗号替换点
我有一个订单表格，我在其中使用 jQuery 计算插件来汇总总数。此求和工作正常，但生成的“总和”存在问题。总之，我希望用逗号替换任何点。代码的基础是； function ($this) {
Delphi错误的 double 计算
我在使用 double 变量计算简单算术方程时遇到问题。我有一个具有 double 属性 Value 的组件，我将此属性设置为 100。然后我做一个简单的减法来检查这个值是否真的是 100: va
openssl CRC32 计算
我在这里看到了一些关于 CRC 32 计算的其他问题。但没有一个让我满意，因此是这样。 openssl 库是否有任何用于计算 CRC32 的 api 支持？我已经在为 SHA1 使用 openssl，
php - 计算-1个月时的PHP天错误
当我在PHP日期计算中遇到问题时，我感到惊讶。 $add = '- 30 days'; echo date('Y-m-01', strtotime($add)); // result is 2017-
持有变量的 JavaScript 计算
我正在使用 javascript 进行练习，我编写了这个脚本来计算 2 个变量的总和，然后在第三个方程中使用这个总和!关于如何完成这项工作的任何想法都将非常有用! First Number:
audio - sample 计算
我有一个来自EAC的提示单和一个包含完整专辑的FLAC文件。我正在尝试制作一些python脚本来播放文件，因为我需要能够设置在flac文件中开始的位置。如何从CueSheet格式MM:SS:FF转
javascript - 计算 for 循环中输入值的总和
这个问题已经有答案了: Adding two numbers concatenates them instead of calculating the sum (24 个回答) 已关闭去年。我有一个
使用输入和跨度字段的 Javascript 计算
4000 我需要上面字段 name="quantity" 和 id="price" 中的值，并使用 javascript 函数进行计算，并将其显示在字段 id= 中仅当我单击计算按钮时才显示“总

行者123

个人简介

我是一名优秀的程序员,十分优秀！

作者热门文章

滴滴打车优惠券免费领取

全站热门文章

首页

博学

6Ren·AI

商城

fortran - 使用有限差分计算一阶和二阶导数时边界误差较大