Haskell Hermite 多项式实现

Question

Haskell 允许以非常简洁的方式表示循环函数。例如，包含斐波那契数的无限列表可以定义如下:

fibs :: [Integer]
fibs = 1 : 1 : zipWith (+) fibs (tail fibs)

我正在处理“概率论”埃尔米特多项式，它具有以下递归关系:

对于给定的 x 构造 n 个 Hermite 多项式的无限列表的最佳方法是什么？

Answer 1

我们可以将其写为:

hermite :: (Enum n, Num n) => n -> [n]
hermite x = s
    where s@(_:ts) = 1 : x : zipWith3 (\hn2 hn1 n1 -> x*hn1 - n1*hn2) s ts [1..]

其中第一项 1 : x : ... 是 hermite 的第一个元素(您可以填写其他值)。

对于下一个，我们压缩原始值 s (以便以 H0 开头)，即 的尾部 ts s(以 H1 开头)和索引(以 2、3、... 开头)并执行操作x*hn1 - x*hn2(nh1代表H_n-1，nh2 代表 H_n-2)，因此我们每次都会计算下一个元素。

x = 0.75 的前 11 个值是:

Prelude> take 11 (hermite 0.75)
[1.0,0.75,-0.4375,-1.828125,-5.859375e-2,7.2685546875,5.744384765625,-39.30303955078125,-69.68797302246094,262.1583366394043,823.8105096817017]

所以第一个值为 1，第二个 x，第三个 x*x-2，第四个 x*x*x-2 *x-3*x，依此类推。

话虽这么说，如果我没记错的话，Hermite多项式的递归公式是:

H_n(x) = 2×x×H_n-1(x)-2×(n-1)H_{n -2}(x)

而不是问题中引用的内容。

在这种情况下，公式如下:

hermite :: (Enum n, Num n) => n -> [n]
hermite x = s
    where s@(_:ts) = 1 : 2 * x : zipWith3 helper s ts [1..]
          helper hn2 hn1 n1 = 2 * (x * hn1 - n1 * hn2)

那么前 11 个值是:

Prelude> take 11 (hermite 0.75)
[1.0,1.5,0.25,-5.625,-9.9375,30.09375,144.515625,-144.3515625,-2239.74609375,-1049.994140625,38740.4384765625]

根据这个 Wolfram article 哪个是正确的:

H₀ = 1

H₁ = 2*x

H₂ = 4˙x² - 2

H₃ = 8˙x³ - 4˙x

H₄ = 16˙x⁴ - 48˙x² + 12

这与我们获得的值完全一致:

Prelude> let x = 0.75 in [1,2*x,4*x*x-2,8*x*x*x-4*x,16*x*x*x*x-48*x*x+12]
[1.0,1.5,0.25,0.375,-9.9375]