matrix - 为什么回代 Solve[] 的结果没有给出预期的结果？

Question

我有这个矩阵

a = {{2, -2, -4}, {-2, 5, -2}, {-4, -2, 2}}

然后我解出了一个缺少一项的方程。方程的形式为逆[p].a.p == q其中 p 是缺少条目 (x5) 的 3x3 矩阵，q 是给定的 3x3 矩阵。

Solve[Inverse[( {
      {1/Sqrt[5], 4/(3 Sqrt[5]), -2/3},
      {-2/Sqrt[5], 2/(3 Sqrt[5]), -2/6},
      {0, x5, -2/3}
     } )].a.( {
     {1/Sqrt[5], 4/(3 Sqrt[5]), -2/3},
     {-2/Sqrt[5], 2/(3 Sqrt[5]), -2/6},
     {0, x5, -2/3}
    } ) == ( {
    {6, 0, 0},
    {0, 6, 0},
    {0, 0, -3}
   } )]

Mathematica 可以轻松解决这个问题，我得到 x5 -> -(Sqrt[5]/3) 作为结果。但是如果我检查一下，结果很奇怪:

In[2]:= Inverse[( {
    {1/Sqrt[5], 4/(3 Sqrt[5]), -2/3},
    {-2/Sqrt[5], 2/(3 Sqrt[5]), -2/6},
    {0, -Sqrt[5]/3, -2/3}
   } )].a.( {
   {1/Sqrt[5], 4/(3 Sqrt[5]), -2/3},
   {-2/Sqrt[5], 2/(3 Sqrt[5]), -2/6},
   {0, -Sqrt[5]/3, -2/3}
  } )

Out[2]= {{6/5 - (2 (-(2/Sqrt[5]) - 2 Sqrt[5]))/Sqrt[5], 
  8/5 + (2 (-(2/Sqrt[5]) - 2 Sqrt[5]))/(3 Sqrt[5]), -(4/Sqrt[5]) + 
   1/3 (2/Sqrt[5] + 2 Sqrt[5])}, {-((
    2 (-(8/(3 Sqrt[5])) + (4 Sqrt[5])/3))/Sqrt[5]) + (
   4/(3 Sqrt[5]) + (4 Sqrt[5])/3)/Sqrt[5], 
  10/3 + (2 (-(8/(3 Sqrt[5])) + (4 Sqrt[5])/3))/(3 Sqrt[5]) + (
   4 (4/(3 Sqrt[5]) + (4 Sqrt[5])/3))/(3 Sqrt[5]), (4 Sqrt[5])/3 + 
   1/3 (8/(3 Sqrt[5]) - (4 Sqrt[5])/3) - 
   2/3 (4/(3 Sqrt[5]) + (4 Sqrt[5])/3)}, {0, 0, -3}}

预期结果应该是

( {
  {6, 0, 0},
  {0, 6, 0},
  {0, 0, -3}
 } )

就像等式中一样。如果我手动计算，我会得到这个结果。我在这里缺少什么？

Answer 1

只需简化或扩展结果即可。

这是一个例子:

In[1]:= a = {{2, -2, -4}, {-2, 5, -2}, {-4, -2, 2}}
Out[1]= {{2, -2, -4}, {-2, 5, -2}, {-4, -2, 2}}

In[2]:= p = {{1/Sqrt[5], 4/(3 Sqrt[5]), -(2/3)}, {-(2/Sqrt[5]), 2/(
   3 Sqrt[5]), -(2/6)}, {0, x5, -(2/3)}}

Out[2]= {{1/Sqrt[5], 4/(3 Sqrt[5]), -(2/3)}, {-(2/Sqrt[5]), 2/(
  3 Sqrt[5]), -(1/3)}, {0, x5, -(2/3)}}

In[3]:= sol = 
 Solve[Inverse[p].a.p == {{6, 0, 0}, {0, 6, 0}, {0, 0, -3}}]

Out[3]= {{x5 -> -(Sqrt[5]/3)}}

In[4]:= Inverse[p].a.p /. sol[[1]]
Out[4]= <big output removed>

In[5]:= Simplify[%]
Out[5]= {{6, 0, 0}, {0, 6, 0}, {0, 0, -3}}

Expand 也可以代替 Simplify。用根和分数表示的表达式通常可以用多种方式编写，并且仅通过查看两个表达式是否相等并不能立即明显看出。您必须明确要求 Mathematica 对其进行转换，例如 expr = 13/(2 Sqrt[3]) - 4/3 和 Together[expr]。

<小时/>

但很奇怪，如果您使用标准语法并显式给出变量，Solve 将不起作用:

In[6]:= Solve[Inverse[p].a.p == {{6, 0, 0}, {0, 6, 0}, {0, 0, -3}}, x5]

Out[6]= {}

In[7]:= Solve[
 Inverse[p].a.p == {{6, 0, 0}, {0, 6, 0}, {0, 0, -3}}, x5, 
 VerifySolutions -> False]

Out[7]= {}

谁能解释一下为什么吗？ NSolve 按预期工作。

In[8]:= NSolve[
 Inverse[p].a.p == {{6, 0, 0}, {0, 6, 0}, {0, 0, -3}}, x5]

Out[8]= {{x5 -> -0.745356}}