r - 近似 R 中二项式随机变量之和的分布

Question

我的目标是近似二项式变量总和的分布。我使用以下纸张The Distribution of a Sum of Binomial Random Variables作者:肯·巴特勒和迈克尔·斯蒂芬斯。

我想编写一个 R 脚本来查找二项式总和的 PIL 逊近似值。有一个 R 包 PearsonDS这允许以简单的方式做到这一点。

因此，我采用论文中的第一个示例，并尝试找到此情况下 PIL 逊分布的密度。最后我收到一条错误消息“这些时刻没有概率分布”。

您能解释一下下面的代码有什么问题吗？

library(PearsonDS)

# 定义五个二项式随机变量的参数

n<-rep(5,5)
p<-seq(0.02,0.10,0.02)

# 找到前四个累积量

k.1<-sum(n*p)
k.2<-sum(n*p*(1-p))
k.3<-sum(n*p*(1-p)*(1-2*p))
k.4<-sum(n*p*(1-p)*(1-6*p*(1-p)))

# 求偏度和峰度参数

beta.1<-k.3^2/k.2^3
beta.2<-k.4/k.2^2

# 定义矩并计算

moments <- c(mean=k.1,variance=k.2,skewness=sqrt(beta.1),kurtosis=beta.2)
dpearson(1:7,moments=moments)

我收到错误消息“这些时刻没有概率分布”。

Answer 1

您尝试在时刻插入的峰度实际上是过度峰度，即峰度 - 3。来自 dpearson() 的帮助页面:

moments:
optional vector/list of mean, variance, skewness, kurtosis (not excess kurtosis).

因此，将 3 添加到 beta.2 将为您提供真正的峰度:

beta.1 <- (k.3^2)/(k.2^3)
beta.2 <- k.4/(k.2^2)
kurt <- beta.2 + 3

moments <- c(mean = k.1, variance = k.2, skewness = beta.1, kurtosis = kurt)
dpearson(1:7, moments=moments)
# [1] 0.3438773545 0.2788412385 0.1295129534 0.0411140817 0.0099279576
# [6] 0.0019551512 0.0003294087

为了得到像论文中那样的结果，我们应该研究累积分布函数并添加 0.5 来纠正由连续分布逼近离散分布所造成的偏差:

ppearson(1:7+0.5, moments = moments)
# [1] 0.5348017 0.8104394 0.9430092 0.9865434 0.9973715 0.9995578 0.9999339

一些背景信息:

该函数抛出错误，因为峰度和偏度之间的关系无效:峰度由偏度确定下限，如下所示:峰度 >= (偏度)^2 - 1 。证明并不漂亮，而且肯定超出了问题的范围，但如果您喜欢这种不等式的不同版本，您可以查看下面的引用资料。

1. 威尔金斯，J.欧内斯特。关于偏度和峰度的注释。安.数学。国家主义者。 15(1944)，没有。 3、333--335。 http://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177731243 .
2. K. PIL 逊。对进化论的数学贡献，XIX；关于倾斜变化的记忆录的第二次补充。菲洛斯.跨。罗伊.苏克。伦敦系列A，216(1916)，p。 432 http://rsta.royalsocietypublishing.org/content/216/538-548/429
3. PIL 逊，K.(1929)。 “‘频率函数矩和各种统计常数的不等式’的编者注”。生物计量学。 21(1-4):361-375。 link