matlab - MATLAB 中矩阵指数的 W * diag(S) * W' 形式的矩阵的特征分解

Question

W 是一个又高又瘦的实值矩阵，diag(S) 是一个由 +1 或 组成的对角矩阵>-1 在对角线上。我想要 A = W * diag(S) * W' 的特征分解，其中单引号表示转置。主要问题是 A 太大了。由于 A 是对称的，秩不足，而且我实际上知道 A 的最大秩(来自 W)，我认为我应该能够有效地做到这一点。知道如何解决这个问题吗？

我的最终目标是在不使用 MATLAB 的 expm 的情况下计算 A 的矩阵指数，这对于大矩阵来说非常慢，并且没有利用秩缺陷。如果A = U * diag(Z) * U'是特征分解，则exp(A) = U * diag(exp(Z)) * U'。

虽然找到一个正交的 U 使得 W * diag(S) * W' = U' * diag(Z) * U' 看起来很有希望有一个简单的算法，我在这里需要一些线性代数帮助。

Answer 1

我首先对 W 执行所谓的“薄”QR 分解，然后计算 R*diag(S)*R' 的特征值分解，然后用它来计算 eig 分解A.

N = 10;
n=3;
S = 2*(rand(1,n)>0.5)-1;
W = rand(N,n);

[Q,R] = qr(W,0);
[V,D] = eig(R*diag(S)*R');

%this is the non rank-deficient part of eig(W*diag(S)*W')
D_A = D;
V_A = Q*V;

%compare with
[V_full,D_full] = eig(W*diag(S)*W');

希望这有帮助。

A.