haskell - 需要多少个 fmap？

Question

一个comment丹尼尔·瓦格纳(Daniel Wagner)的著作让我想到了这个问题。让我们从过度简化开始。假设你有一个类型

data Foo a = Foo [a]

然后你可以编写Functor实例

instance Functor Foo where
  fmap f (Foo l) = Foo (fmap f l)

您可以将右侧重写为

Foo . fmap f $ l

认识到对于(->) a，fmap = (.)，你可以这样写

fmap Foo (fmap f) l

重复，你会得到

fmap (fmap Foo) fmap f l

最后，

fmap f (Foo l) =
  fmap fmap fmap Foo fmap f l

<小时/>

如果您选择一个稍微复杂一点的仿函数会怎样？

data Bar = Bar [Maybe a]

instance Functor Bar where
  fmap f (Bar l) = Bar (fmap (fmap f) l)

我开始手动执行此操作，但它开始失去控制，所以我切换到自动。

infixl 9 :@
data Expr
  = BAR | F | L | FMap | Expr :@ Expr
  deriving (Show)

rewrite :: Expr -> Expr
rewrite (p :@ (q :@ r))
  = rewrite $ FMap :@ p :@ q :@ r
rewrite (p :@ q) = rewrite p :@ q
rewrite e = e

main = print $ rewrite $
  BAR :@ (FMap :@ (FMap :@ F) :@ L)

不幸的是，这似乎产生了非常巨大的结果。我什至无法在合理的时间内计算出树最左边的叶子。这到底是多大的表情？随着更多仿函数分层，它的增长速度有多快？

Answer 1

无限。以下术语循环您的重写器:

FMap :@ ((FMap :@ (FMap :@ FMap)) :@ FMap)

只需三个步骤即可完成此操作，分别是:

((FMap :@ FMap) :@ (FMap :@ (FMap :@ FMap))) :@ FMap
(((FMap :@ (FMap :@ FMap)) :@ FMap) :@ (FMap :@ FMap)) :@ FMap
(((FMap :@ ((FMap :@ (FMap :@ FMap)) :@ FMap)) :@ FMap) :@ FMap) :@ FMap

最后一个词的开头是原始术语。 (原始循环术语本身是在重写 BAR :@ (FMap :@ (FMap :@ F) :@ L) 六个步骤后出现的。)