python - 将向量的差异转换为 0 和 1 之间

Question

我正在处理两个单位向量，但不确定如何计算。我需要它，这样如果它们指向相同方向答案为 1，相反方向答案为 0，垂直(向上或向下)答案为 0.5，等等。

例子:对于两个向量 (1,0) 和 (-1,0)(因此，向量相反)，我得到的答案是 0。对于两个向量 (1,0) 和 (1/sqrt(2),1/sqrt(2))(因此，单位向量指向 45 度角)我得到 0.25。对于两个向量 (0,1) 和 (-1,0)(因此，垂直向量)我得到 0.5

感谢您对此的任何帮助!

Answer 1

了解 Dot product一般来说，两个向量的点积等于两个向量之间的夹角的余弦乘以两个向量的大小(长度)。

dot( A, B ) == | A | * | B | * cos( angle_A_B ) 

由此可见，2 个单位向量的点 积等于这两个向量夹角的余弦，因为unit vector 的长度为 1。

uA = normalize( A )
uB = normalize( B )
cos( angle_A_B ) == dot( uA, uB )

如果 2 个归一化向量指向相同方向，则点积为 1，如果指向相反方向，则点积为 -1，如果向量垂直，则点积为 0。

在pygame中，点积可以通过 math.Vector2.dot() 来计算.如果A和 B是 pygame.math.Vector2 对象:

uA = A.normalize()
uB = B.normalize()
AdotB = uA.dot(uB)

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在上面的例子中，AdotB在 [-1.0, 1.0] 范围内。 AdotB * 0.5 + 0.5在 [0.0, 1.0] 和 math.acos(AdotB) / math.pi + 1 范围内映射 A 之间的角度和 B与范围 [0.0, 1.0] 成线性关系。

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此外， pygame.math.Vector2.angle_to() 计算给定向量的角度(以度为单位)。取决于角度的 [0.0, 2.0] 范围内的值可以通过以下方式计算

w = 1 - A.angle_to(B) / 180