scala - 正确使用术语 Monoid

Question

从下面的例子中，我认为说 String 在串联操作下定义了一个幺半群是正确的，因为它是一个关联二元操作，而 String 恰好有一个标识元素，它是一个空字符串 "" 。

scala> ("" + "Jane") + "Doe" ==  "" + ("Jane" + "Doe")
res0: Boolean = true

从我最近阅读的有关该主题的各种文本来看，monoid 一词的正确用法似乎是 monoid 实际上是两种类型的组合(在本例中为 String ) 和一些定义操作和身份元素的幺半群类型的实例。

例如，这是理论上的 Monoid 类型及其具体实例，似乎在各种书籍/文章中通常定义:-

trait Monoid[A] { 
  def op(a1: A, a2: A): A 
  def zero: A 
} 

val stringMonoid = new Monoid[String] { 
  def op(a1: String, a2: String) = a1 + a2 
  val zero = "" 
}

我知道我们不需要在核心(Scala，或者更确切地说是 Java)库中定义 trait Monoid[A] 或 stringMonoid 来支持我的 REPL 输出，并且该示例只是理解幺半群抽象概念的工具。

我的问题(我很可能想得太多了)是纯粹主义的定义。我知道底层 java.lang.String (或者更确切地说 StringBuilder )已经定义了关联操作，但我不认为在任何地方都定义了标识元素(在本例中只是一个空字符串 "" )的明确定义。

问题:-

String 是否隐含地是串联操作下的幺半群，只是因为我们碰巧知道使用空字符串 "" 提供身份？或者是一个类型的标识元素的显式定义对于它被归类为幺半群(在特定的关联二进制操作下)是不必要的。

Answer 1

你可能想多了。 幺半群 是一个存在于编程和类型系统之外的抽象概念(一种类别理论)。考虑定义:

A monoid is a set that is closed under an associative binary operation and has an identity element.

您已确定 String 类型是一个封闭的 使用关联二元运算(串联)和标识元素(空字符串)设置。该语言可能不会明确告诉您身份元素是什么，但这并不意味着它不存在(我们知道它存在)。具有二元串联操作的 String 类型肯定是 monoid，因为您可以证明它满足上述所有属性。

创建一个 Monoid 类型类只是为了方便我们处理使用 monoid 操作的通用数据结构。无论编程语言(或其他一些库)是否明确说明什么集合、什么二元运算以及什么恒等式构造幺半群，幺半群仍然存在。

重要的是要注意 String 类型本身并不构成幺半群，因为它必须与所述二元运算等一起存在。可能存在另一个使用相同的幺半群设置，但不同的二进制操作。