linear-algebra - 如何找到两个超平面相交的平面？

Question

在求两个平面相交的直线时，需要计算两个平面法线的叉积。这个叉积只是取矩阵的行列式:

i  j  k
x1 y1 z1
x2 y2 z2

其中(x,y,z)是每个平面的法向量。结果是平行于交线的向量。从那里你需要找到一个位于两个平面上的点。这两部分结合起来给你一个完全定义的线。

如何将其扩展到在平面上相交的超平面？我假设我需要采用类似矩阵的行列式，但我想到的矩阵:

h  i  j  k
w1 x1 y1 z1
w2 x2 y2 z2

不是方阵。另外，我不知道如何找到位于两个超平面上的点。

谁能告诉我如何找到超平面的交平面？

感谢您的宝贵时间!

Answer 1

您不必为此计算行列式，只需执行简单的变量替换即可获得相交平面。例如，如果您有两个超平面:

3x + 4y + 2z - 7w = 10
2x - 3y + 2z + 1w = 2

然后您可以隔离w(或任何其他变量):

w = 2 - 2x + 3y - 2z

并将其替换为第一个方程:

3x + 4y + 2z - 7(2 - 2x + 3y - 2z) = 10

结果是:

17x - 17y + 16z - 14 = 10

现在你有了相交平面。只是简单的数学。

完整的 4D 平面表示基于两个方程，首先找到可求解 17x - 17y + 16z - 14 = 10 的 (x, y, z) 值然后使用 w = 2 - 2x + 3y - 2z 计算 w。